Segundo Pretorneo 2019 NM P1

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Luli97

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Segundo Pretorneo 2019 NM P1

Mensaje sin leer por Luli97 » Mié 19 Jun, 2019 9:45 pm

Se tiene un hexágono regular y un punto en su interior tal que las distancias desde ese punto a tres vértices consecutivos del hexágono valen $1$, $1$ y $2$ respectivamente. Determinar la longitud del lado del hexágono.

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Gianni De Rico

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 20 Jun, 2019 1:18 am

Solución:
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Sean $ABCDEF$ el hexágono y $P$ el punto del enunciado. Supongamos WLOG que $PA=PB=1$ y $PC=2$, además, $AB=x$. Sean $O$ el centro del hexágono y $M$ el punto medio de $AB$, entonces $OC=x$ y $OM=\frac{\sqrt{3}}{2}x$.
Como $PA=PB=1$ entonces $P$ está en la mediatriz de $AB$, de donde $O,P,M$ son colineales, y $\angle OPC=90°$. Por Pitágoras en $\triangle OPC$ tenemos $$OP=\sqrt{PC^2-OC^2}=\sqrt{4-x^2}$$ luego $PM=OM-OP=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\sqrt{4-x^2}$
Por Pitágoras en $\triangle PMA$ tenemos $$PM^2+AM^2=AP^2$$ es decir $$\left (\frac{\sqrt{3}}{2}x-\sqrt{4-x^2}\right )^2+\left (\frac{x}{2}\right )^2=1^2$$ luego $$\frac{3}{4}x^2-\sqrt{3(4x^2-x^4)}+4-x^2+\frac{x^2}{4}=1$$ por lo que $$\sqrt{3(4x^2-x^4)}=3$$ entonces $$3(4x^2-x^4)=9$$ de donde $$x^4-4x^2+3=0$$ poniendo $y=x^2$ obtenemos $$y^2-4y+3=0$$ que tiene raíces $y=1$ e $y=3$, luego $x^2=1$ o $x^2=3$, de donde $x=1$ o $x=\sqrt{3}$ son las únicas soluciones posibles (pues $x\geqslant 0$ por ser el lado del hexágono).
Si $x=1$ entonces $\triangle ABP$ es equilátero, y como $P$ es interior a $ABCDEF$ resulta $P=O$, por lo que $1=x=PC=2$, absurdo pues $1\neq 2$. El absurdo proviene de suponer $x=1$, luego, $x\neq 1$.
Por lo tanto, $x=\sqrt{3}$ es la única solución posible, y para ver que es alcanzable basta considerar el caso en el que $A,P,C$ son colineales.
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Turko Arias

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P1

Mensaje sin leer por Turko Arias » Jue 20 Jun, 2019 7:21 pm

Un poco menos cuentosa :shock:
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Si $ABCDEF$ es nuestra figura y $P$ el punto, WLOG $AP=2$, $BP=CP=1$, y por la simetría de la figura $DP=2$. Como en un hexágono regular su circundiametro es el doble del lado, tenemos que $APD$ y $BPC$ son semejantes con razón de semejanza $2$, ya que $AP=DP=2.1=2BP=2CP$ y si $BC=x$, $AD=2x$. Tenemos $\alpha= \angle PAD= \angle PDA= \angle PBC= \angle PCB$, de donde $\angle PBA= \angle PCD= 120- \alpha$ y $\angle PAB= \angle PDC= 60- \alpha$, concluímos entonces que $\angle BPC = \angle APD= 180-2\alpha$ y que $\angle APB= \angle CPD= 2\alpha$, por lo que $\angle DPB=180$ y $D, P, B$ están alineados. Como $AD$ es diámetro, $\angle ABD=90$, y como $AD=2AB$, tenemos que $ABD$ es un medio equilatero, y como $BD=3$ tenemos que $AB=\sqrt{3}$ $\blacksquare$
Última edición por Turko Arias el Jue 20 Jun, 2019 11:48 pm, editado 2 veces en total.
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Monazo

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P1

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 20 Jun, 2019 10:04 pm

Otra idea
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Sean $A\ B\ C$ los tres puntos consecutivos del hexágono. Sea $D$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $AB$. Ver que $DBC$ es medio equilátero y se cumple que $DC=2*DB=2*DA$.
Dato Importante
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Hay que demostrar también que no existe otro punto interior al hexágono que cumpla dichas relaciones de lados. Peeeeeeero..... mira si no es único.

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Fran5

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P1

Mensaje sin leer por Fran5 » Vie 21 Jun, 2019 5:58 pm

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Tomate un triangulo equilatero $ABC$ y su baricentro $P$. Luego si pones $PM =PN = 1$ te queda $PA = PB = PC = 2$.
Por pitagoras, el lado $MN$ te queda $\sqrt{3}$
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$P$ es unico, pues es el centro radical de las circunferencias de centros $M,N$ de radio 1 y de la circunferencia de radio $C$ de radio $2$
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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