Segundo Pretorneo 2019 NM P2

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Luli97

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Segundo Pretorneo 2019 NM P2

Mensaje sin leer por Luli97 » Mié 19 Jun, 2019 9:46 pm

Demostrar que cualquier triángulo se puede dividir en $2019$ cuadriláteros tales que cada cuadrilátero tenga una circunferencia inscrita y una circunferencia circunscrita.
NOTA: Un cuadrilátero tiene una circunferencia inscrita si y sólo si la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados opuestos.
Un cuadrilátero tiene una circunferencia circunscrita si y sólo si la suma de dos ángulos opuestos es igual a $180º$.

BrunZo

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Mié 19 Jun, 2019 10:44 pm

Solución:
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Es claro que sí podemos partir al triángulo en $n$ cuadriláteros bicéntricos, entonces podemos tomar uno de ellos y dividirlo en cuatro mediante sus inradios tangentes a los lados. Los cuatro cuadriláteros nuevos son romboides con ángulos opuestos de $90^\circ$, y por ende bicéntricos. Esto es, se puede dividir en $n+3$ bicéntricos. Ahora, tomando como caso base a los tres bicéntricos que se forman con los inradios tangentes a los lados del triángulo original, podemos alcanzar $673\cdot 3=2019$ bicéntricos.

PD: Creo que el problema sigue siendo cierto si reemplazás a $2019$ por cualquier otro natural distinto de $1$, $2$ ó $4$.
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