Segundo Pretorneo 2019 NM P4

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Luli97

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Segundo Pretorneo 2019 NM P4

Mensaje sin leer por Luli97 » Mié 19 Jun, 2019 9:49 pm

Consideramos una lista de números enteros positivos que sumados en total dan $2019$ y tales que ninguno de los números sea $40$ y ninguna suma de algunos números que sean consecutivos en la lista valga $40$. Determinar cuál es la mayor cantidad de números que puede haber en la lista.
NOTA: La lista puede tener números repetidos.

BrunZo

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Mié 19 Jun, 2019 10:57 pm

Solución:
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Es un lema conocido que (me ahorraré de probarlo) en toda lista de $n$ enteros, existen algunos elementos consecutivos suman algún múltiplo de $n$.
Tomemos $40$ enteros consecutivos de la lista del problema. Por el lema, algunos consecutivos suman múltiplo de $40$, pero por el enunciado, no exactamente $40$. Esto es, estos cuarenta números deberán sumar al menos $80$.
Sí hubiesen $1020$ números o más, tomamos $25$ grupos de $40$ consecutivos al principio, que por lo que dijimos, suman al menos $25\cdot 80=2000$. Y como los $20$ restantes son al menos $1$, nos pasamos de la suma. Esto es, hay $1019$ números. El ejemplo es:
$$1,1,1,1,...,41,1,1,1...,41,1,1,1...,41,1,1,1,...,1$$
dónde hay $39$ unos consecutivos excepto al final que hay $19$.

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Gianni De Rico

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 19 Jun, 2019 11:16 pm

BrunZo escribió:
Mié 19 Jun, 2019 10:57 pm
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Es un lema conocido que (me ahorraré de probarlo) en toda lista de $n$ enteros, existen algunos elementos consecutivos suman algún múltiplo de $n$.
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Palomar nunca te va a abandonar
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BrunZo

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 23 Jun, 2019 9:38 pm

Gianni De Rico escribió:
Mié 19 Jun, 2019 11:16 pm
BrunZo escribió:
Mié 19 Jun, 2019 10:57 pm
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Es un lema conocido que (me ahorraré de probarlo) en toda lista de $n$ enteros, existen algunos elementos consecutivos suman algún múltiplo de $n$.
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Palomar nunca te va a abandonar
Bueno, "a pedido del público":
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Sea $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ la lista de $n$ enteros.
Tomemos $s_0=0$, $s_1=a_1$, $s_2=a_1+a_2$,..., $s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$.
Por Palomar, existen dos $s_k$, $s_l$ ($k>l$) con $s_k\equiv s_l\mod n$, de modo que $n\mid s_k-s_l$ que son los términos consecutivos entre $a_{l+1}$ y $a_k$ inclusive.

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