FOFO 9 años Problema 1

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Luli97

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FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por Luli97 » Jue 10 Oct, 2019 11:20 pm

Sean $a_1,~a_2,~a_3,\ldots,~b_1, b_2, b_3, \ldots,$ y $c_1, c_2, c_3, \ldots$ progresiones aritméticas de números reales. Se sabe que
\begin{align*}
a_1 + b_1 + c_1 &= 1, \\
a_2 + b_3 + c_4 &= 5, \\
a_5 + b_7 + c_9 &= 11.
\end{align*}
Hallar el valor de $a_{519} + b_{1019} + c_{1519}$.

Aclaración: Una progresión aritmética es una sucesión de números $s_1,~s_2,~s_3,\ldots$ tal que cada término se obtiene de sumar siempre el mismo número al término anterior. Por ejemplo, si para cada $n$ definimos $s_n=3n+1$, obtenemos que los primeros términos son $4,7,10,\ldots$ que resulta ser una progresión aritmética en la cual cada término se obtiene de sumarle $3$ al anterior.

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Luli97

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Re: FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por Luli97 » Dom 13 Oct, 2019 8:36 pm

Aquí vamos a publicar la solución oficial

HelcsnewsXD
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Re: FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Mar 15 Oct, 2019 10:08 am

Spoiler: mostrar
Sabemos que $a_1+b_1+c_1=1$, siendo estos los elementos primeros de las progresiones aritméticas, por lo que debemos expresar el resto de igualdades en función de ellos. Siendo A, B y C las razones de las progresiones $a_1,...,a_n; b_1,...,b_n; c_1,...,c_n;$ tenemos que:

1)$a_2+b_3+c_4=5 \Rightarrow a_1+b_1+c_1+A+2B+3C=5 \Rightarrow A+2B+3C=4$
2)$a_5+b_7+c_9=11 \Rightarrow a_1+b_1+c_1+4A+6B+8C=11 \Rightarrow 2A+3B+4C=5$

Por 1) y 2), tenemos que:
3) $A+2B+3C+1=2A+3B+4C \Rightarrow 1=A+B+C \Rightarrow$ Si reemplazamos en 1), tenemos que $B+2C=3$ (4)

Por 3) y 4), tenemos que:
$a_{509}+b_{1009}+c_{1509}=a_1+508A+b_1+1008B+c_1+1508C=(a_1+b_1+c_1)+508\times (A+B+C) + 500\times (B+2C) \Rightarrow a_{509}+b_{1009}+c_{1509}=1+508+500\times 3=2009$

BrunZo

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Re: FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 15 Oct, 2019 11:36 am

HelcsnewsXD escribió:
Mar 15 Oct, 2019 10:08 am
$a_{509}+b_{1009}+c_{1509}$
Spoiler: mostrar
Había que calcular $a_{519}+b_{1019}+c_{1519}$, pero bue... :P
Igual, la solución está perfecta, nada más que el resultado es $2019$.

El Apache yasabes
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Re: FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por El Apache yasabes » Mié 16 Oct, 2019 6:12 pm

Curiosidad:
Los subíndices con los resultados tambien forman progresiones aritméticas:
1-1-1-1
2-3-4-5
5-7-9-11
519-1019-1519-2019
1  

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