OMEO 2020 NB P2

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Tomás Morcos Porras

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Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Vie 07 Feb, 2020 2:54 pm

En una lista infinita se escriben los enteros positivos que consisten de un único dígito del $1$ al $9$ repetido muchas veces:
$1$, $11$, $111$, $1111$, $11111$, . . .
$2$, $22$, $222$, $2222$, $22222$, . . .
$3$, $33$, $333$, $3333$, $33333$, . . .
. . .
. . .
$9$, $99$, $999$, $9999$, $99999$, . . .
Hallar todos los enteros positivos de la lista infinita que son cuadrados perfectos.
1  
Puede que no me reconozcas, pero a lo mejor te suene la cara de un joven que creyó encontrar un ciclo hamiltoniano en el grafo de Petersen, y no satisfecho con creerlo corroborado, subió a un escenario a intentar demostrarlo. Ese soy yo 8-)

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NPCPepe

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Re: OMEO 2020 NB P2

Mensaje sin leer por NPCPepe » Vie 07 Feb, 2020 6:50 pm

Spoiler: mostrar
los residuos cuadráticos $\mod 100$ se repiten cada $25$ porque: $(25-a)^2\equiv{(25+a)^2} \mod 100$ esto queda demostrado porque
$25^2-50a+a^2\equiv{25^2+50a+a^2} \mod 100$
$-50a\equiv{50a} \mod 100$
entonces: $0\equiv{0} \mod 100$
$1\equiv{01} \mod 100$
$2\equiv{04} \mod 100$
3 09
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 0
11 21
12 44
13 69
14 96
15 25
16 56
17 89
18 24
19 61
20 0
21 41
22 84
23 29
24 76
25 25
ahora observemos que ninguno de los números de la derecha tiene los dígitos repetidos excepto el $44$
Como no hay cuadrado perfecto que termine en $11$,si se supone que hay un cuadrado perfecto compuesto solamente por mas de dos dígitos $4$, al dividir este número por $4$, ya que $4$ es un cuadrado perfecto obtendríamos un cuadrado perfecto terminado en $11$ lo cual es imposible
ahora hay que ver los números de 1 dígito de la lista que son $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$
las únicas soluciones son el $1$, el $4$ y el $9$
1  
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$

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