OMEO 2020 NB P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Tomás Morcos Porras

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Mención-OFO 2020
Mensajes: 50
Registrado: Dom 13 Oct, 2019 5:04 pm
Medallas: 2
Nivel: 2
Ubicación: Córdoba, Córdoba

OMEO 2020 NB P1

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Vie 07 Feb, 2020 5:04 pm

Sea $ABC$ un triángulo, y $D$ el pie de la altura desde $A$, tal que $BC=8$ y $AD=6$.
Sea $M$ el punto medio de $BD$ y $N$ el punto medio de $AC$.
Calcular $MN$.
¡Feliz cumpleaños a todos los que cumplen hoy y feliz no cumpleaños a todos los que no cumplen hoy!

Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Mención-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 233
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 8
Nivel: Ñandú

Re: OMEO 2020 NB P1

Mensaje sin leer por Monazo » Sab 08 Feb, 2020 12:34 am

Solución 1:
Spoiler: mostrar
Sea $H$ el pie de la altura del triángulo $NDC$ que pasa por $N$. Luego $NH \parallel AD$ y como $N$ es punto medio de $AC$ entonces $HN$ es base media del triángulo $ADC$.
Como $HN$ es base media, tenemos que $HN=\frac{AD}{2}=3$.
Por mediana correspondiente a hipotenusa, obtenemos que $AN=NC=DN$.
Sea $BM=x$. Luego, $MD=x$ , $DC=8-2x$ , $DH=\frac{DC}{2}=4-x \ $ (notemos que $DNC$ es isósceles por lo tanto $HN$ es mediatriz también). Por lo que $MH=x+4-x=4$.
Por Pitágoras tenemos que ${MN}^2={MH}^2+{HN}^2=4^2+3^2=25\ $.
Por lo que $MN=5$ y estamos.
Solución 2:
Spoiler: mostrar
La vi después y no puedo no subirla.

Sea $A'$ el simétrico de $A$ respecto de $M$. Dado que $M$ es punto medio de $BD$ y $AA'$. entonces $ADA'B$ es un paralelogramo. (Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio).
Por alternos internos, tenemos que $\angle ADB=\angle DBA'=90\ $ . Obtenemos así que $BA'C$ es un triángulo rectángulo en $B$.
Por Pitágoras obtenemos que ${A'C}^2={BA'}^2+{BC}^2=6^2+8^2=100\ \ $ . Luego $A'C=10$.
Como $M$ es punto medio de $AA'$ y $N$ es punto medio de $AC$, obtenemos que $MN$ es base media de $AA'C$.
Es por eso que finalmente, $MN=\frac{A'C}{2}=5$.
2  
El Diego es del Lobo! Y del Lobo no se va!

Avatar de Usuario
NicoRicci

OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 27
Registrado: Lun 08 Oct, 2018 2:31 pm
Medallas: 3
Nivel: 2

Re: OMEO 2020 NB P1

Mensaje sin leer por NicoRicci » Lun 10 Feb, 2020 4:57 pm

Una solución muy simple
Spoiler: mostrar
Sea $P$ el punto medio de $AB$. Tenemos: $MP$ base media de $ABD$, $AD \parallel MP$, $MP = \frac{AD}{2} = 3$ y $NP$ base media de $ABC$, $BC \parallel NP$, $NP = \frac{BC}{2} = 4$.
Como $AD \perp BC$ al ser $AD$ la altura correspondiente al punto $A$, luego $MP \perp NP$, y por la regla de Gougu (a.k.a teorema de Pitágoras)$$MN=\sqrt{\left (MP^2+NP^2\right )}=\sqrt{(16+9)}=5$$
Pd.: ¡Muy piola la solución nro. 2!
1  
OWEEEEEEE

El Apache yasabes

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020
Mensajes: 7
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 1

Re: OMEO 2020 NB P1

Mensaje sin leer por El Apache yasabes » Sab 15 Feb, 2020 1:17 pm

Tomo BM=MD=a entonces por Pitágoras se sabe que AB²=4a²+36 y AN²=NC²=a²-8a+25

luego por teorema de la mediana (en ABC) BN²=a²+8a+25 y (en ADC) DN²=a²-8a+25 y aplicando el mismo teorema en el triángulo BND se tiene que (BN²+DN²)/2=MN²+a² por lo que llegamos a que MN²=25 o sea que MN=5

Responder