Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 3)

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Dauphineg

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 3)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Dom 28 Jun, 2020 9:02 am

Se han dado $1978$ conjuntos, cada uno de los cuales contiene $40$ elementos. Cada par de conjuntos tiene exactamente un elemento en común.
Demostrar que los $1978$ conjuntos tienen un elemento en común.

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Dauphineg

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Re: Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 3)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Lun 06 Jul, 2020 2:13 pm

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Nombramos $A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{1978}$ ,tomamos uno de los $1978$ conjuntos digamos que es $A_{1}$, este conjunto tiene exactamente un elemento en común con cada uno de los otros $1977$ conjuntos, $A_{1}$ tiene $40$ elementos distintos y entonces por palomar existirá un elemento de
$A_{1}$ que sera común al por lo menos otros $50$ conjuntos, llamamos $x$ a éste elemento y supongamos sin perdida de generalidad que
$A_{2},A_{3},...,A_{51}$ son los conjuntos a los que $x$ pertenece con certeza, ademas de $A_{1}$ obviamente.
$\cdot$ Supongamos que $x$ no pertenece a todos los $1978$ conjuntos, digamos nuevamente sin perdida de generalidad que $x \not\in A_{52}$
Dicho conjunto $A_{52}$ debe tener un elemento en común con cada uno de los conjuntos $A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{51}$ y digamos que estos elementos son $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{51}$ respectivamente, pero éstos son $51$ que pertenecen $A_{52}$ y éste tiene $40$ elementos distintos, así que nuevamente por palomar tendremos que al menos $2$ de estos elementos $x_{i}$ serán iguales, supongamos sin perdida de generalidad que $x_{1}=x_{2}$, entonces los conjuntos $A_{1}$ y $A_{2}$ tiene en común a éste elemento $x_{1}=x_{2}$ pero ya habíamos dicho que $x$ pertenecía a estos conjuntos por lo que $x$ es común a ambos conjuntos y dado que tienen exactamente un elemento en común sera $x_{1}=x_{2}=x$ pero entonces $x \in A_{52}$ contradicción.
Luego $x$ pertenece a todos lo conjuntos

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