Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 11)

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Dauphineg

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 11)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Sab 25 Jul, 2020 6:22 am

Sean $a\geq 2$ y $n\geq 1$ números enteros. Probar que la congruencia $x^{n}\equiv a\pmod p$ tiene solución para una infinidad de primos $p$.

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Dauphineg

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Re: Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 11)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Mar 28 Jul, 2020 8:50 am

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Si $n=1\Rightarrow$ nos queda probar que la congruencia $x\equiv a\pmod p$ tiene solución para infinitos primos $p$, pero esto es cierto para todos los primos, ya que $x=a$ es solución siempre, así que ya esta probado.
Si $n\geq 2$ notemos primero que como $a\geq 2\Rightarrow$ existirá al menos un primo $p$ tal que $p\mid a$ y entonces la congruencia $x^{n}\equiv a\pmod p$ tendrá con seguridad a $x=0$ como solución, esto quiere decir que al menos para algún primo $p$ existirá solución a la congruencia dada y ahora supongamos que dicho conjunto de primos para los que tiene solución dicha congruencia es finito. Sea $F=\begin{Bmatrix}
p_{1},p_{2},...,p_{m}
\end{Bmatrix}$ el conjunto de todos los primos para los que tiene solución la congruencia, llamemos $R=\prod_{i=1}^{m}p_{i}$, como $F$ es no vacío tendremos que $R\geq 2\Rightarrow R^{n}\geq R ^{2}\geq 4$, también $a^{n-1}\geq a\geq 2$, luego $a^{n-1}. R^{n}-1\geq 7$ y entonces existirá un primo $q$ tal que $q\mid a^{n-1}. R^{n}-1$ $(*)$ $\Rightarrow q\mid a.(a^{n-1}. R^{n}-1)\Rightarrow q\mid (a.R)^{n}-a$
$\Rightarrow (a.R)^{n} \equiv a\pmod q$, luego para el primo $q$ la congruencia tendrá solución $x=a.R$ así que $q\in F \Rightarrow q\mid R\Rightarrow q\mid a^{n-1}. R^{n}\Rightarrow$ por $(*)$ $q\mid 1$ Absurdo!. Luego la congruencia dada tiene solución para una infinidad de primos $p$
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