Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 12)

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Dauphineg

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 12)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Sab 25 Jul, 2020 6:28 am

Sea $c\neq 1$ un número racional positivo. Demostrar que es posible partir al conjunto de los números enteros positivos, $\mathbb{N}$, en dos subconjuntos no vacíos y disjuntos $A,B$ de modo tal que si $x,y$ pertenecen ambos a $A$ o ambos a $B$ entonces $\frac{x}{y}\neq c$.

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Re: Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 12)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Mié 29 Jul, 2020 9:49 am

Spoiler: mostrar
Como $c\neq 1$ es racional y positivo deberán existir enteros positivos coprimos $a$ y $b$ tal que $c=\frac{a}{b}$, además $a$ y $b$ no ambos iguales a $1$.
Supongamos sin perdida de generalidad que $a\neq 1\Rightarrow (\ast )$ para todo $n\in\mathbb{N}$ existirá el entero no negativos $V_{a}(n)$ que es la mayor potencia de $a$ que divide a $n$. Vamos a definir los conjuntos $A$ y $B$ del siguiente modo:
$A=\begin{Bmatrix}
n\in\mathbb{N}:V_{a}(n)\neq \dot{2}
\end{Bmatrix}$
$B=\begin{Bmatrix}
n\in\mathbb{N}:V_{a}(n)=\dot{2}
\end{Bmatrix}$
Como $V_{a}(a)=1\Rightarrow a\in A \Rightarrow A\neq \varnothing$ y como $V_{a}(1)=0\Rightarrow 1\in B \Rightarrow B\neq \varnothing$
Es claro por la definición de $A$ y $B$ que ellos son disjuntos y además $A\subseteq \mathbb{N}$ y $B\subseteq \mathbb{N}$ entonces $A\cup B \subseteq \mathbb{N}$ y por $ (\ast )$ tenemos que $A\cup B \supseteq \mathbb{N} \Rightarrow A\cup B=\mathbb{N}$ por lo tanto ya justificamos la partición de $\mathbb{N}$ y ahora probaremos que esta partición verifica la propiedad de que si $x$ e $y$ pertenecen ambos a $A$ o ambos a $B$ entonces $\frac{x}{y} \neq c$
Sean $x$ e $y$ elementos ambos de $A$ o ambos de $B \Rightarrow V_{a}(x)-V_{a}(y)=\dot{2}$ y por el contrario supongamos que $\frac{x}{y} =c \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{a}{b}\Rightarrow b.x=a.y$
Luego $V_{a}(b.x)=V_{a}(a.y)$ pero como dijimos que $a$ y $b$ eran coprimos $\Rightarrow V_{a}(x)= V_{a}(b.x) =V_{a}(a.y)=1+V_{a}(y)$
$\Rightarrow V_{a}(x)-V_{a}(y)=1$ Contradicción!!
Fin del problema



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Re: Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 12)

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 30 Jul, 2020 2:03 pm

Muy similar a este problema :D
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