IGO 2017 - Nivel Medio - P1

Felibauk

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Mensaje sin leer por Felibauk » Lun 27 Jul, 2020 12:35 am

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A = 60°$. Sean $E$, $F$ los pies de las alturas desde $B$, $C$ respectivamente. Demostrar que $CE - BF = \frac {3}{2} (AC - AB)$.

Ianoni

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Re: IGO 2017 - Nivel Medio - P1

Mensaje sin leer por Ianoni » Lun 27 Jul, 2020 12:11 pm

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Llamamos de la siguiente formas los segmentos : $CE = a$, $AE = b$, $AF = c$,$FB = e$.

Si remplazamos en la condicion del enunciado y desarrollamos nos queda lo siguiente:

$CE - BF = \frac {3}{2} (AC - AB)$

$a - e = \frac {3}{2} (a + b - c - e)$

$2a - 2e = 3(a + b - c - e)$

$2a - 2e = 3a + 3b - 3c - 3e$

$2a - 2e = 3a + 3b - 3c - 3e$

$2a - 2e + 3e = 3a + 3b -3c$

$3c + e = 3a + 3b - 2a$

$3c + e = 3b +a$, visto esto, vamos a llegar a esta misma expresión y estaríamos.

Como $B\hat{A}C = 60°$, el triangulo $ACF$ es medio equilatero, por lo tanto:

$a+b = 2c (*)$

Ademas, el triangulo $EBA$ también es medio equilatero, entonces:

$c+e = 2b (**)$ , si restamos $(**) - (*)$ nos queda:

$c+e - (a+b) = 2b - 2c$

$c+e - a-b = 2b - 2c$

$3c + e = 3b + a$, y es a lo que queríamos llegar.
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Dauphineg

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Re: IGO 2017 - Nivel Medio - P1

Mensaje sin leer por Dauphineg » Lun 27 Jul, 2020 6:52 pm

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Como $\triangle ABE$ y $\triangle ACF$ son medios triángulos equiláteros tenemos que $\left \{\begin{matrix}
\overline{AF}=\frac{1}{2}\overline{AC} \\
\overline{AE}=\frac{1}{2}\overline{AB}
\end{matrix}\right .$
o equivalentemente $\left \{\begin{matrix}
\overline{AB}-\overline{BF}=\frac{1}{2}\overline{AC} \\
\overline{AC}-\overline{CE}=\frac{1}{2}\overline{AB}
\end{matrix}\right .$ y ahora restando las ecuaciones llegamos a que $\overline{AB}-\overline{AC}+\overline{CE}-\overline{BF}=\frac{1}{2}\overline{AC}-\frac{1}{2}\overline{AB}$ agrupando y sacando factor común llegamos a lo pedido $\overline{CE}-\overline{BF}=\frac{3}{2}\left (\overline{AC}-\overline{AB}\right )$

Felibauk

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Re: IGO 2017 - Nivel Medio - P1

Mensaje sin leer por Felibauk » Mar 28 Jul, 2020 12:32 am

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Como $\triangle {ABC}$ es acutángulo,$E$ y $F$ son un punto del interior de $\overline {AB}$ y $\overline {AC}$, respectivamente. De este modo, se puede afirmar que $\overline {AB} = \overline {BF} + \overline {AF}$ y $\overline {AC} = \overline {CE} + \overline {AE}$.
Como en la fórmula que buscamos, no hay términos en $\overline {AF}$ ni de $\overline {AE}$, busquemos expresiones equivalentes: tenemos que $A\hat {B}E = 180° - B\hat {A}E - A\hat {E}B = 180° - 60° - 90° = 30°$ y $A\hat {C}F = 180° - C\hat {A}F - A\hat {F}C = 180° - 60° - 90° = 30°$, por lo tanto, $\triangle {ABE}$ y $\triangle {ACF}$ son ambos medio-equiláteros (ángulos 30°, 60° y 90°). Por consecuente, se cumple que $\overline {AE} = \frac {1}{2} \overline {AB}$ y $\overline {AF} = \frac {1}{2} \overline {AC}$. Estas son las dos expresiones que buscamos.
Ahora bien, reemplazando en $\overline {AB} = \overline {BF} + \overline {AF}$ y $\overline {AC} = \overline {CE} + \overline {AE}$, llegamos a que $\overline {AB} = \overline {BF} + \frac {1}{2} \overline {AC}$ y $\overline {AC} = \overline {CE} + \frac {1}{2} \overline {AB}$. Restando la segunda y la primera igualdades, $(\overline {AC}) - (\overline {AB}) = (\overline {CE} + \frac {1}{2} \overline {AB}) - (\overline {BF} + \frac {1}{2} \overline {AC})$, luego $\overline {AC} + \frac {1}{2} \overline {AC} - \overline {AB} - \frac {1}{2} \overline {AB} = \overline {CE} - \overline {BF}$, por lo tanto, $\frac {3}{2} \overline {AC} - \frac {3}{2} \overline {AB} = \overline {CE} - \overline {BF}$ y finalmente, $\frac {3}{2} (\overline {AC} - \overline {AB}) = \overline {CE} - \overline {BF}$.
Queda demostrada la fórmula y por lo tanto, el problema está resuelto.
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