Mayo 2011 - Segundo Nivel - P1

[Felibauk]

Hallar un número entero positivo $x$ tal que la suma de los dígitos de $x$ sea mayor que $2011$ veces la suma de los dígitos del número $3x$ ($3$ por $x$).

[Felibauk]

Spoiler: mostrar

RTA: $x=\overbrace{33\cdots 3}^{2009}7$.
Verificación: $S(x)=2009\times 3+7=6034$. $3x=3\times 37+3\left (\sum \limits _{i=2}^{2008}3\times 10^i\right )$ y resolviendo, $3x=111+9\left (\sum \limits _{i=2}^{2008}10^i\right )=111+9\frac{10^{2009}-100}{9}=10^{2009}+11=1\overbrace{00\cdots 0}^{2007}11$. Se tiene entonces que $S(3x)=1+1+1=3$ y en efecto, $S(x)=6034>2011S(3x)=2011\times 3=6033$.