Mayo 2011 - Segundo Nivel - P2

Felibauk

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Mayo 2011 - Segundo Nivel - P2

Mensaje sin leer por Felibauk »

Decimos que un número de cuatro dígitos $abcd$ ( $a ≠ 0$ ) es porá si se cumplen las siguientes condiciones:
$a \geq b$;
$ab - cd = cd - ba$.
Por ejemplo, $2011$ es porá porque $20 - 11 = 11 - 02$.
Hallar todos los números porá.

Uriel J

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Re: Mayo 2011 - Segundo Nivel - P2

Mensaje sin leer por Uriel J »

Solución:
Spoiler: mostrar
Tenemos que $a \geq b$ y que $ ab - cd = cd - ba$ $ \Rightarrow $ $ ab + ba = cd + cd$ $ \Rightarrow $ $11(a + b) = 2(10c + d)$

Entonces con que se cumplan esas dos condiciones, estamos

Luego como $2$ y $11$ son coprimos, tenemos que $10c + d$ es múltiplo de $11$

$10 c + d\equiv 0 \pmod{11}$ además $10c\equiv -c \pmod{11}$ $ \Rightarrow $ $d - c\equiv 0 \pmod{11}$ $ \Rightarrow $ $c \equiv d \pmod{11}$

Como $c$ y $d$ son números (positivos) de un dígito, llegamos a que $c = d$

Ahora habría que analizar cada posible valor para $c$ y $d$

$*$ $c = d = 0$

$11(a + b) = 0$ $ \Rightarrow $ $a + b = 0$ $ \Rightarrow $ $a = b = 0$. Absurdo pues $a ≠ 0$

$*$ $c = d = 1$

$11(a + b) = 22$ $ \Rightarrow $ $a + b = 2$. Posibles valores para $a$ y $b$:

$a = 2$, $b = 0$
$a = b = 1$

$*$ $c = d = 2$

$11(a + b) = 44$ $ \Rightarrow $ $a + b = 4$. Posibles valores para $a$ y $b$:

$a = 4$, $b = 0$
$a = 3$, $b = 1$
$a = b = 2$

$*$ $c = d = 3$

$11(a + b) = 66$ $ \Rightarrow $ $a + b = 6$. Posibles valores para $a$ y $b$:

$a = 6$, $b = 0$
$a = 5$, $b = 1$
$a = 4$, $b = 2$
$a = b = 3$

$*$ $c = d = 4$

$11(a + b) = 88$ $ \Rightarrow $ $a + b = 8$. Posibles valores para $a$ y $b$:

$a = 8$, $b = 0$
$a = 7$, $b = 1$
$a = 6$, $b = 2$
$a = 5$, $b = 3$
$a = b = 4$

$*$ $c = d = 5$

$11(a + b) = 110$ $ \Rightarrow $ $a + b = 10$. Posibles valores para $a$ y $b$:

$a = 9$, $b = 1$
$a = 8$, $b = 2$
$a = 7$, $b = 3$
$a = 6$, $b = 4$
$a = b = 5$

$*$ $c = d = 6$

$11(a + b) = 132$ $ \Rightarrow $ $a + b = 12$. Posibles valores para $a$ y $b$:

$a = 9$, $b = 3$
$a = 8$, $b = 4$
$a = 7$, $b = 5$
$a = b = 6$

$*$ $c = d = 7$

$11(a + b) = 154$ $ \Rightarrow $ $a + b = 14$. Posibles valores para $a$ y $b$:

$a = 9$, $b = 5$
$a = 8$, $b = 6$
$a = b = 7$

$*$ $c = d = 8$

$11(a + b) = 176$ $ \Rightarrow $ $a + b = 16$. Posibles valores para $a$ y $b$

$a = 9$, $b = 7$
$a = b = 8$

$*$ $c = d = 9$

$11(a + b) = 198$ $ \Rightarrow $ $a + b = 18$. Posibles valores para $a$ y $b$

$a = b = 9$

Luego, al haber analizado todos los posibles valores de $c$ y $d$, concluimos con el problema y en total existen $29$ números porá
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