Mayo 2006 - Segundo Nivel - P1

[Felibauk]

Determinar todas las parejas de números naturales $a$ y $b$ tales que $\frac {a+1}{b}$ y $\frac {b+1}{a}$ son números naturales.

[Uriel J]

Solución:

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$a$ y $b$ son enteros positivos

Por la simetría de $a$ y $b$, podemos decir, sin perdida de generalidad, que $a\leq b$

Además,

$a \mid b + 1$
$b \mid a + 1$

Entonces podemos deducir que:

$ab \mid (a+1)(b+1)$ $ \Rightarrow $ $ab \mid ab + a + b + 1$ $ \Rightarrow $ $ab \mid a + b + 1$

Además, $ab\leq a + b + 1$ $ \Rightarrow $ $ab - a - b - 1\leq 0$ $ \Rightarrow $ $ab - a - b + 1\leq 2$ $ \Rightarrow $ $(a - 1)(b - 1)\leq 2$

Vamos a dividir en principio en 2 casos:

$a = 1$

$a\neq 1$

Si $a = 1$:

$1 \mid b + 1$ que cumple

$b \mid 2$ entonces los posibles casos son: $b = 1$ y $b = 2$

Ahora analicemos $a\neq 1$

En principio, se tiene que cumplir que $(a - 1)(b - 1)\leq 2$

Como $a\leq b$,tenemos que $a - 1\leq b - 1$

Entonces si $a > 2$, $a - 1\geq 2$ y $b - 1\geq 2$ por lo que $(a - 1)(b - 1)\geq 4$.

Entonces $a\leq 2$ y solo nos falta analizar $a = 2$

Si $a = 2$:

$2 \mid b + 1$
$b \mid 3$, luego los posibles valores de $b$ son $1$ y $3$ pero como estamos suponiendo que $a\leq b$ tenemos que $b = 3$ que cumple.


Luego, las posibles parejas $(a;b)$ que funcionan son:

$(1;1)$ $(1;2)$ $(2;3)$ y sus permutaciones