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¿hola?

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Mensaje sin leer por ¿hola? »

Para un entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$ en representación binaria.
Hallar todos los enteros positivos $k$ tal que$$s(1)s(2)s(3)\ldots s\left (2^k\right )$$es un cuadrado perfecto.
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Sandy

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Re: Producto interesante

Mensaje sin leer por Sandy »

Dejé sin demostrar un par de trivialidades pero no pasa nada
Spoiler: mostrar
Entre $1$ y $2^k-1$ sabemos que tenemos todos los números de $k$ cifras (o menos, pero las consideramos $k$ de todos modos).
Poner $t$ dígitos $1$ en $k$ dígitos es como elegir $t$ números entre $1$ y $k$ y ponerles dígitos $1$ a los dígitos en esa posición, por lo que habrá $\binom{k}{t}$ maneras.
Luego el producto $P(k)$ pasa a ser:
$P(k)=\prod \limits _{n=1}^{k} n\binom{k}{n}=k!\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{k!}{n!(k-n)!}=k!^{k+1}\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{n!}\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}$
Pero es claro por la propiedad conmutativa de la multiplicación que $\prod \limits _{i=a}^{b} f(i)=\prod \limits _{i=a}^{b} f(a+b-i)$, luego:
$\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{n!}=\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k+1-n)!}=\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!(k+1-n)}=\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{k+1-n}$
Usando de nuevo esa propiedad "reflectiva" que vimos:
$\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{k+1-n}=\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{n}=\frac{1}{k!}\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}$
Insertándolo en $P(k)$:
$P(k)=k!^{k+1}\frac{1}{k!}\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}=k!^k\left(\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\right)^2$
  • Si $k=2m$
$P(k)=k!^{2m}\left(\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\right)^2=\left(k!^m\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\right)^2$ es un cuadrado perfecto.
  • Si $k=2m+1$
$P(k)=k!^{2m+1}\left(\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\right)^2=k!\left(k!^m\prod \limits _{n=1}^{k}\frac{1}{(k-n)!}\right)^2$
Falta ver que con $k$ impar, $k!$ no puede ser cuadrado perfecto.
Por el Postulado de Bertrand sabemos que existe un primo entre $\frac{k+1}{2}$ y $k+1$ para $k>1$. Ese primo, que existe, aparecerá solo una vez en $k!$, luego su exponente en la factorización será $1$ y $k!$ no será un cuadrado.
Falta ver sólo el caso $k=1$, donde obviamente $k!=1^2$ es un cuadrado perfecto.

Luego $P(k)$ es un cuadrado perfecto para $k$ par y $k=1$
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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¿hola?

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Re: Producto interesante

Mensaje sin leer por ¿hola? »

Sandy escribió:
Vie 21 Ago, 2020 8:33 pm
Luego el producto $P(k)$ pasa a ser:
$P(k)=\prod \limits _{n=1}^{k} n\binom{k}{n}$
Creo que sería...
$$P(k)=\prod \limits _{n=1}^{k} n^{\binom{k}{n}}$$
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Sandy

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Re: Producto interesante

Mensaje sin leer por Sandy »

¿hola? escribió:
Sab 22 Ago, 2020 4:00 pm
Sandy escribió:
Vie 21 Ago, 2020 8:33 pm
Luego el producto $P(k)$ pasa a ser:
$P(k)=\prod \limits _{n=1}^{k} n\binom{k}{n}$
Creo que sería...
$$P(k)=\prod \limits _{n=1}^{k} n^{\binom{k}{n}}$$
Tenés razón! En un rato lo corrijo
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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