Números partidos

[Fedex]

Decimos que un número natural $n$ es partido si existen números naturales $a$ ; $b$ ; $x$ ; $y$ que cumplan las siguientes condiciones:
$$a+b = n$$
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$
Encontrar todos los números partidos.

[Gianni De Rico]

Spoiler: mostrar

Escribimos $n=pk$ con $p$ primo. Si $k>1$, podemos tomar $a=p$, $b=p(k-1)$, $x=1$, $y=(p-1)(k-1)$ y se ve fácil que funciona. Eso quiere decir que todos los compuestos andan.
Ahora, si $k=1$ entonces $n=p$, y como $a,b$ son naturales, entonces $a,b>0$, así que $a<p$. Sea $d=\gcd (a,b)$, entonces $d\mid a+b=p$ y $d\leqslant a<p$, por lo que $d=1$. Multiplicando la segunda ecuación por $ab$ obtenemos$$xa+yb=ab$$de donde $b\mid xa$ y $a\mid yb$, como son coprimos, esto significa que $b\mid x$ y $a\mid y$, de donde podemos escribir $x=wb$, $y=za$, con $w,z$ naturales, reemplazando y dividiendo por $ab$ obtenemos$$w+z=1$$lo que es absurdo ya que $w,z\geqslant 1$. Entonces los primos no andan.
Conclusión, los números partidos son los compuestos.