Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P2

Fedex

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Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P2

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El Barón de Munchausen presentó un nuevo teorema: si un polinomio $x^n-ax^{n-1}+ bx^{n-2}+...$ tiene $n$ raíces enteras positivas entonces existen $a$ rectas del plano que tienen exactamente $b$ puntos de intersección. Determinar si el teorema del Barón es verdadero.

$5 \; PUNTOS$
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P2

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Consideramos $n$ conjuntos de rectas paralelas $r_1 , r_2, ..., r_n$ y sean $x_1 , x_2, ..., x_n$ las $n$ raices enteras positivas del polinomio.
Si tomamos $|r_i| = x_i$ veamos que se cumple lo pedido.
En primer lugar por Vieta se verifica que:
$|r_1| + |r_2| + ... + |r_n| = x_1 + x_2 + ... + x_n = a$
Sea $f(r_i)$ la cantidad de intersecciones que se cuentan en el conjunto $r_i$.
$f(r_i) = |r_i| (|r_1| + ... + |r_{i-1}| + |r_{i+1}| + ... + |r_n|) = |r_i| (a-|r_i|)$
Porque cada recta de $r_i$ se cruza solo con las rectas que no pertenecen a $r_i$.
Ahora si queremos contar la cantidad total de cortes, como no hay un punto en el que se crucen $3$ rectas o más, un corte entre $A \in r_i$ y $B \in r_j$ se cuenta $1$ vez en $f(r_i)$ y $1$ vez en $f(r_j)$.
Luego se debe dar:
$\frac{\sum_{i=1}^{n} f(r_i)}{2} = b$
$a (\sum_{i=1}^{n} |r_i|) -\sum_{i=1}^{n} |r_i|^2 = 2b$
$\sum_{i=1}^{n} |r_i|^2 = a^2-2b$

Donde como también $b = \sum_{sym} x_ix_j$ para $i≠j$.
Tenemos que $a^2 -2b = (x_1 + ... + x_n)^2 - 2 \sum_{sym} x_ix_j = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \sum_{i=1}^{n} |r_i|^2$
Y se cumple lo que queríamos demostrar.

Luego lo que dice el enunciado es cierto.
1  
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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