Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P3

Fedex

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Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P3

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Dos circunferencias $\alpha$ y $\beta$ de centros $A$ y $B$ respectivamente, se cortan en $C$ y $D$. El segmento $AB$ corta a $\alpha$ y $\beta$ en $K$ y $L$ respectivamente. La semirrecta $DK$ corta a la circunferencia $\beta$ nuevamente en $N$ y la semirrecta $DL$ corta nuevamente a la circunferencia $\alpha$ en $M$. Demostrar que el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $KLMN$ coincide con el incentro del triángulo $ABC$.

$6 \; PUNTOS$
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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Gianni De Rico

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Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P3

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Sea $I=KM\cap LN$, notemos que como $ACK$ y $BCL$ son isósceles, las bisectrices de $\angle BAC$ y de $\angle CBA$ son las mediatrices de $CK$ y $CL$, respectivamente. Entonces lo que tenemos que demostrar es que $I$ es el circuncentro de $CLK$.
Tenemos que$$\begin{align*}\angle IKL & =\angle MKA \\
& =90^\circ -\frac{1}{2}\angle KAM \\
& =90^\circ -\angle KDM \\
& =90^\circ -\angle KDL \\
& =90^\circ -\angle KCL
\end{align*}$$y análogamente, $\angle ILK=90^\circ -\angle KCL$. Se sigue que $I$ está en la mediatriz de $KL$, más aún, como $\angle IKL=90^\circ -\angle KCL$, entonces $I$ es el circuncentro de $CLK$, como queríamos.
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Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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