Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Mayor P5

[Fedex]

Determinar si existe un rectángulo que se pueda dividir en $100$ rectángulos, cada uno de ellos semejante al original, pero que no haya dos que sean congruentes.

$7 \; PUNTOS$

[Sandy]

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Sea en la figura $x=\sqrt{1+\sqrt{2}}$, dejo las cuentitas como ejercicio al lector pero debería andar. Si, recursivamente, hacemos lo mismo en el rectángulo más chiquito de todos (queda siempre el rojo -y sus homólogos- me parece) en las mismas proporciones, cada vez sumamos $3$ rectángulos más. Repitiendo este proceso muchas veces ($32$ veces si no estoy mal) llegamos a $100$ rectángulos. Como los $4$ rectángulos que tenemos son menores que el original, cada vez que partimos el más chico los nuevos serán más chicos (y, particularmente, distintos) que todos los anteriores.

Figura P5 Torneo completa.png

[Fran5]

Hago la unica cuentita no trivial ($x \neq 0$)

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$\dfrac{x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^2}} = x$

$ x^3 - x - \frac{1}{x} = x$

$x^4 - 2x^2 - 1 = 0$

$x = \sqrt{ \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-1)}}{2}} = \sqrt{ \frac{ 2 \pm \sqrt{8}}{2}}$

Luego la única solución real positiva es $x = \sqrt{1 + \sqrt{2}}$