Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P2

[Fedex]

Diremos que un par de enteros positivos distintos es lindo si su media aritmética y su media geométrica son ambas enteras. Determinar si es verdadero que para cada par lindo existe otro par lindo con la misma media aritmética. (Los pares $(a,b)$ y $(b,a)$ se consideran el mismo par.)

Nota: Si $x$ e $y$ son enteros positivos, su media aritmética es $\frac{x+y}{2}$ y su media geométrica es $\sqrt{xy}$.

$7 \; PUNTOS$

[Fedex]

owo

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Sea $(x,y)$ un par lindo donde $a$ y $b$ son sus medias aritmética y geométrica respectivamente.
$x + y = 2a$
$xy = b^2$
Para ello escribimos:
$x = x’^2 mcd(x, 2a-x) = x’^2 d$
$y = 2a - x = y’^2 mcd(x, 2a-x) = y’^2 d$
$\frac{2a}{d} = a’$
$a’ = y’^2 + x’^2$
Luego es suficiente que $a’$ sea la suma de $2$ cuadrados distintos y coprimos para que se verifique la segunda condición.

Ahora es un lema conocido que si $p \equiv 3 \; (4)$ y $p|a’$ entonces $p|x’$ y $p|y’$.
Luego $a’$ no puede tener ningún primo $\equiv 3 \; (4)$ porque $x’$ e $y’$ son coprimos.
Ahora si $v_2(a’) \geq 2$ viendo $mod \; 4$, $x \equiv y \equiv 0 \; (2)$ que no puede ocurrir por lo mismo.
Aparte si $a’ = 1$ tendríamos que $x’ = 0$ o $y’= 0$ que no puede pasar.
Y si $a’ = 2$ tendríamos que $x’ = y’ = 1$ que tampoco podría ocurrir porque $x ≠ y$.

Terminado todo ese análisis concluimos que a $a’$ necesariamente lo divide un primo $\equiv 1 \; (4)$ si es que $a$ es la media aritmética de un par lindo.
Sea $p$ ese primo escribimos a $a = pm$.
Luego tomamos $(x,y) = (2mx’^2, 2my’^2)(mx’’^2, my’’^2)$

En el primer caso $p = x’^2 + y’^2$ donde es claro que $x’$ e $y’$ son coprimos y existen porque $p \equiv 1 \; (4)$.

Y en el segundo $2p = x’’^2 + y’’^2$ donde es claro que $x’’$ e $y’’$ son coprimos y existen porque $2p \equiv 2 \; (4)$.

Ademas ambas parejas son distintas de lo contrario debería ocurrir que $2x’^2 = x’’^2$ que es un absurdo.

Luego tenemos la construcción de que si para $a$ existe un par lindo existen al menos $2$ pares lindos y el enunciado es cierto.