Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P4

[Fedex]

Llamamos $X$-pentominó a una cruz formada por $5$ cuadraditos de $1\times 1$. Determinar si es posible recortar $9$ $X$-pentominós de un tablero de $8\times 8$, si no es necesario recortar siguiendo las líneas de la cuadricula.

$7 \; PUNTOS$

[Kechi]

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Vamos a demostrar que la siguiente disposición de los $X$-pentominós está contenida en un cuadrado de lado menor a $8$, y por lo tanto se los puede recortar de un tablero de $8\times8$:

Ejemplo P4.png

Analizaremos uno de los vértices ampliado, ya que se puede razonar análogamente con los otros tres.

ampliación ejemplo P4.png

Veamos que $\angle BFD=\angle CHI=90°$, $FD=IH=1$ y $BF=CH=2$, por lo que $\triangle CHI$ y $\triangle DBF$ son congruentes, con $BD=CI=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.

Como $\angle FCH=90°$ tenemos que $\angle BCA=180°-\angle FCH-\angle ICH=\angle HIC=\angle FDB$ por lo que los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DBF$ son semejantes en razón $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$. De esta semejanza deducimos que $AC=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\cdot DF=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ y $AB=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\cdot BF=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$.

Cada lado de la figura está formada por un lado $AB$, uno $AC$ y uno $CI$, por lo que mide $AB+AC+CI=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}+\dfrac{4\sqrt{5}}{5}+\sqrt{5}=\dfrac{17\sqrt{5}}{5}=7,6026\ldots<8$, así que es posible recortar los $9$ $X$-pentominós de un tablero de $8\times8$. $\bigstar$