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Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P7

Publicado: Mar 06 Abr, 2021 2:08 pm
por Fedex
Se tiene un cuadrilátero convexo tal que no hay tres de sus lados con los que se pueda formar un triángulo. Demostrar que:
$a)$ Uno de sus ángulos es menor o igual que $60°$. $\;\;\;\;$ $8 \; PUNTOS$
$b)$ Uno de sus ángulos es mayor o igual que $120°$. $\;\;\;\;$ $8 \; PUNTOS$

Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P7

Publicado: Mié 07 Abr, 2021 12:35 pm
por El Apache yasabes
Parte a):
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sea $ABCD$ el cuadrilátero y las siguientes medidas:
$AB = a $, $BC = b $, $CD = c $, $DA = d $
Sea $E $ un punto tal que $ED = DC $ y $A\hat {D}E = 60$ (véase imagen adjunta)
Sea $x = EA $. Ahora lo que quiero demostrar es que $x > a + b $ (para que se vea claro puede tomarse el caso cuando $a + b $ es máximo).
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Screenshot_2021-04-07-11-58-12-1.png
Las siguientes desigualdades son producto de las restricciones que da el problema:
$c > a + b$
$d > b + c $
$d > c $
también sin pérdida de generalidad tomo $b > a $ (nótese que esto no afecta ya que puedo tomar el punto B' en la imagen
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Screenshot_2021-04-07-12-26-34-1.png
o puedo cambiar $AB = b $ y $BC = a $)
por último, el ángulo de 60 implica que $x^2 = (d - c)^2 + cd $

Entonces:
$x^2 = (d - c)^2 + cd > (a + b)(b + c) > (a + b)(a + b) = (a + b)^2$
Lo que significa que $x > a + b$ como quería demostrar. (Se puede sacar raíz porque estoy tomando todo valores positivos)
Alguien que me ayude... por qué no me da la igualdad?

Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P7

Publicado: Mié 07 Abr, 2021 4:56 pm
por Turko Arias
Creería que porque se suele hablar de triángulos excluyendo el caso triángulo degenerado, por lo que tus desigualdades estrictas en realidad deberían ser mayor o igual... Es lo que se me ocurre, porque en varias soluciones oficiales he visto que trabajan con la desigualdad triangular estricta ($a+b>c$) por lo tanto negar eso sería $a+b \leq c$

Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P7

Publicado: Jue 08 Abr, 2021 11:05 pm
por El Apache yasabes
Aah bien gracias