Sean $a+b=x$, $b+c=y$, $c+a=z$.
Luego la primera igualdad se vuelve $xz=\frac{x+y-z}{2}\Longleftrightarrow y=2xz+z-x$.
Reemplazando esto en las otras dos nos queda:
$x(2xz+z-x)=xz+z-x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ (1)
$z(2xz+z-x)=x-xz\Longleftrightarrow x=\frac{z^2}{1-2z^2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ (2)
Ya que si $1-2z^2=0$, $z^2$ debería ser $0$, lo cual es absurdo.
Reemplazando en (1) nos queda:
$\frac{z^2}{1-2z^2}(2\frac{z^3}{1-2z^2}+z-\frac{z^2}{1-2z^2})=\frac{z^3}{1-2z^2}+z-\frac{z^2}{1-2z^2}$
Expandiendo y limpiando denominadores nos queda:
$0=2z^5+3z^4-4z^3-z^2+z=z(2z-1)(z^3+2z^2-z-1)=z(2z-1)P(z)$
Pero
$P(-3)=-7<0$
$P(-1)=1>0$
$P(0)=-1<0$
$P(1)=1>0$
Luego por Bolzano debe haber al menos tres raíces reales: una en $(-3,-1)$, otra en $(-1,0)$ y otra en $(0,1)$.
Luego $z\in \mathbb{R}$, por (2) $x\in \mathbb{R}$ y como $y=2xz+z-x$, también $y\in \mathbb{R}$.
Luego $a=\frac{x+z-y}{2}$, $b=\frac{x+y-z}{2}$, $c=\frac{y+z-x}{2}$ son reales como buscábamos.
Bueno la solución probablemente este mal así que guíense por la de Sandy. La dejo para que alguno pueda corregirla intentando no meterse en teoremas raros.
Si alguno sabe como se llama este tipo de sistema donde no hay perdida de generalidad me avisa porfa
Restemos las primeras 2:
$a^2 - b^2= a - b$
Como a, b, c son números complejos se los puede expresar de la forma $x + y.i$. Digamos que $a = x + y.i$ , $b = w + t.i$
$x^2 + 2xyi - y^2 - t^2 - 2twi + w^2 = x + yi - t -wi$
$x^2 - y^2 - t^2 + w^2 -x + t = yi -wi -2xyi + 2twi$
$x^2 - y^2 - t^2 + w^2 -x + t = (y -w -2xy + 2tw)i$
Lo que hice fue despejar la ecuación para poder sacar factor común de i. Veamos que toda la parte derecha es real, mientras que la parte izquierda es imaginaria, lo cual es absurdo lo que nos lleva a que $y -w -2xy + 2tw$ debe ser igual a 0.
$y -w - 2xy + 2tw = 0$
De la ecuación de arriba podemos deducir que si $y=w \neq 0$ entonces $t = x$ por lo que $a = b$ y recíprocamente $a = b = c$
Si reemplazamos $a = b = c$ en alguna ecuación, por ejemplo la de a, llegamos a que $(a + a)(a + a) = a \Rightarrow 4a^2 - a = 0$ Despejando de esta ecuación se llega fácil a que "a" tiene que ser 0 o 1/4, por lo que a, b, c pertenecen a los reales.
Luego tenemos el caso donde $y = 2xy ; w = 2tw$ pero bueno me tengo que ir a votar así que después la sigo.
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$