Entrenamiento IMO 2021 - Problema 66
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Tomás Morcos Porras
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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 66
En un sistema de coordenadas, consideramos las rectas de ecuaciones: $$d_1:2x-y-2=0,d_2:x+y-4=0,d_3:y=2,d_4:x-4y+3=0.$$ Hallar los vértices del triángulo que tiene medianas $d_1, d_2, d_3$, y una de sus alturas es $d_4$.
¿Mis intereses? Las várices de Winston Churchill.
Re: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 66
Después de buscar qué significan las medianas, llegué a un resultado
Sabemos que los lados del triángulo son perpendiculares cada uno a sus respectivas medianas, así que primero encontramos las ecuaciones para cada una de las rectas que van a ser nuestro lado:
d1(perp): y=-x/2 -1, d2(perp): y=x -4, d3(perp)= x=-2
Como uno de nuestros lados es una recta ya conocida, sabemos que dos vértices van a tener la forma (-2, yd1(perp)) y (-2, y2(perp)). Basta con poner -2 en las ecuaciones de d1(perp) y d2(perp) para encontrar que los dos primeros vértices los tenemos en (-2,0) y (-2,-6)
Por último, sabemos que el tercer vértice es una intersección entre d1(perp) y d2(perp), por lo que igualamos y tenemos que x=2
Como lo que nos piden es que nuestro triángulo tenga una altura d4, la única altura asociada a d4 que se me ocurre es la de poner x=2 en la ecuación de d4 y tomar el vértice en ese punto, que nos queda como (2, 5/4)
Siendo nuestros vértices los puntos (-2,0), (-2, -6) y (2, 5/4)
Agradecería mucho si me corrigen en caso de que esté equivocado, soy relativamente nuevo
Sabemos que los lados del triángulo son perpendiculares cada uno a sus respectivas medianas, así que primero encontramos las ecuaciones para cada una de las rectas que van a ser nuestro lado:
d1(perp): y=-x/2 -1, d2(perp): y=x -4, d3(perp)= x=-2
Como uno de nuestros lados es una recta ya conocida, sabemos que dos vértices van a tener la forma (-2, yd1(perp)) y (-2, y2(perp)). Basta con poner -2 en las ecuaciones de d1(perp) y d2(perp) para encontrar que los dos primeros vértices los tenemos en (-2,0) y (-2,-6)
Por último, sabemos que el tercer vértice es una intersección entre d1(perp) y d2(perp), por lo que igualamos y tenemos que x=2
Como lo que nos piden es que nuestro triángulo tenga una altura d4, la única altura asociada a d4 que se me ocurre es la de poner x=2 en la ecuación de d4 y tomar el vértice en ese punto, que nos queda como (2, 5/4)
Siendo nuestros vértices los puntos (-2,0), (-2, -6) y (2, 5/4)
Agradecería mucho si me corrigen en caso de que esté equivocado, soy relativamente nuevo