Determinar si es posible escribir $101$ números enteros positivos alrededor de una circunferencia de manera tal que la razón entre cada par de números vecinos sea siempre un número primo.
Aclaración: La razón entre dos números es la división entre el mayor y el menor.
Supongamos que es posible lograr lo que nos pide el enunciado.
Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_{101}$ los números escritos en la circunferencia, en ese orden. El enunciado nos dice entonces que $\dfrac{a_i}{a_{i+1}}$ es o bien primo o bien el recíproco de un primo, para $i=1,\ldots ,100$, y que lo mismo vale para $\dfrac{a_{101}}{a_1}$.
Consideremos el producto$$P=\frac{a_1}{a_2}\frac{a_2}{a_3}\cdots \frac{a_{100}}{a_{101}}\frac{a_{101}}{a_1}.$$Como cada $a_i$ aparece una vez multiplicando y una vez dividiendo, entonces se cancelan todos y nos queda $P=1$. Por otro lado, sabemos que cada fracción de $P$ es o bien un primo o bien el recíproco de un primo, como $P$ tiene $101$ fracciones, si hay $k$ que son un primo, entonces hay $101-k$ que son el recíproco de un primo, nos queda entonces que$$P=\frac{p_1p_2\cdots p_k}{p_{k+1}p_{k+2}\cdots p_{101}}$$donde cada $p_i$ es un primo, pero no son necesariamente distintos. Entonces$$\frac{p_1p_2\cdots p_k}{p_{k+1}p_{k+2}\cdots p_{101}}=P=1$$con lo que$$p_1p_2\cdots p_k=p_{k+1}p_{k+2}\cdots p_{101}.$$Pero por unicidad de factorización en primos, tenemos que ambos lados deben tener la misma cantidad de factores, con lo que $k=101-k$, es decir que $k=\dfrac{101}{2}$, lo que no puede pasar pues $k$ tiene que ser entero. Entonces llegamos a un absurdo que provino de suponer que era posible lograr lo pedido, luego, esto no se puede hacer.
Sea $x$ alguno de los valores. Veamos que desde una posición, para movernos hacia algún lado, estamos o bien multiplicando o bien dividiendo por un número primo (para que la razón entre los consecutivos sea justamente este número primo).
Entonces, si desde $x$ nos movemos hacia, por ejemplo, la derecha, para llegar al siguiente valor iremos multiplicando o dividiendo por números primos. Pero si hacemos esto $101$ veces volveremos a llegar a $x$.
Sean $p_1, p_2, …, p_k$ los primos que aparecieron multiplicando (es decir, los que hacían que el valor se agrandara al movernos a la derecha) y $q_1, q_2, …, q_{101-k}$ los primos que aparecieron dividiendo.
Por ejemplo, si empiezo desde $x=4$ y los siguientes números fueran $12, 24, 8, 4, 28$ los primos que aparecen multiplicando (agrandando el valor previo) son $3, 2, 7$ y los que aparecen dividiendo son $3, 2$.
Entonces, como el orden de los factores no altera el producto (y dividir es multiplicar por el inverso), tenemos que $x * \dfrac{p_1*p_2…*p_k}{q_1*q_2…*q_{101-k}} = x$.
Por lo que, como $x$ no puede ser $0$, tengo dos productos de números primos que deben dar el mismo resultado. Como la factorización en números primos es única, el conjunto de los primos $p$ debe ser igual al de los primos $q$. Luego, para empezar, deben tener la misma cantidad de números: $k = 101 - k$, lo que es imposible porque $k$ es entero.
Por esta razón no se puede lograr que todos los pares consecutivos tengan como razón un número primo.
Sean $a_1, a_2...a_{101}$(en ese orden) los números escritos en la circunferencia.
Sea $U(n)$ la cantidad de primos en la factorización en primos de $n$.
Supongamos que se cumple lo pedido por el enunciado:
Si $a_i > a_{i+1} \Rightarrow U(a_i) - U(a_{i+1}) = 1$
Si $a_i < a_{i+1} \Rightarrow U(a_i) - U(a_{i+1}) = -1$
Es decir que $|U(a_i) - U(a_{i+1})|= 1$ Para $1 \leq i \leq 101$ (en el caso de $i = 101$, $a_{i + 1} = a_1$)
Es decir que $U(a_m) - U(a_{m+k}) \equiv k \pmod{2}$
Entonces, si se cumple el enunciado, $|U(a_{101}) - U(a_{1})|= 1 \equiv 1 \pmod{2}$
Pero también $U(a_1) - U(a_{1+100}) \equiv 100 \equiv 0 \pmod{2}$
Absurdo.
Rta: no es posible escribir los números de manera que se cumpla el enunciado.
