En el triángulo $ABC$, sean $M$ el punto medio de $BC$, $N$ el punto medio de $AM$ y $D$ el punto de intersección de las rectas $CN$ y $AB$.
Demostrar que si $BN=BM$, entonces $AD=DN$.
Comencemos analizando un poco los ángulos de la figura.
Llamamos $\alpha$ a los ángulos $B\widehat{N}M$ y $B\widehat{M}N$ que son iguales por ser el triángulo $BNM$ isósceles con $BN=BM$. A partir es esto, podemos decir que los ángulos $A\widehat{N}B$ y $C\widehat{M}N$ miden $180^\circ - \alpha$ por ser adyacentes a los ángulos $B\widehat{N}M$ y $B\widehat{M}N$ respectivamente.
Observemos que los triángulos $CMN$ y $BNA$ tienen dos lados iguales y el ángulo que los sostiene igual: $AN=NM$, $BN=CM$ y $A\widehat{N}B=N\widehat{M}C$. Esto nos permite afirmar que los triángulos $CMN$ y $BNA$ son congruentes, y de esto se deduce que los ángulos que se corresponden en estos triángulos son iguales, en particular, $B\widehat{A}N=C\widehat{N}M$.
Como $C\widehat{N}M=A\widehat{N}D$ por opuestos por el vértices, resulta que $B\widehat{A}N=C\widehat{N}M=A\widehat{N}D$ y por lo tanto, el triángulo $ADN$ es isósceles con $D\widehat{A}N=A\widehat{N}D$, lo que prueba que $DN=AD$, como queríamos ver.
Sea $E$ tal que $N$ es el punto medio de $CE$, entonces como $N$ es el punto medio de $AM$ se tiene que $EMCA$ es un paralelogramo, en particular tenemos que $EA=MC=BM=BN$ y que la recta $EA$ es paralela a la recta $MC$. Como $EA=BM$ y son paralelos, tenemos que $BEAM$ es un paralelogramo, con lo que $EB=AM=2AN$ y la recta $EB$ es paralela a la recta $AM$. Finalmente, como $EB=2AN$, $EA=BN$ y las rectas $EB$ y $AN$ son paralelas, tenemos que $AEBN$ es un trapecio isósceles de bases $AN$ y $EB$, y como $D$ es el punto de intersección de sus diagonales se sigue que $DA=DN$ (acá es importante que $EB\neq AN$, porque si no podría pasar que $AEBN$ fuera un paralelogramo, y ahí no necesariamente va a pasar que $DA=DN$).
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Los ángulos $B\widehat{N}M$ y $B\widehat{M}N$ son iguales, ya que el triángulo $BMN$ es isósceles con $BM=BN$.
Por lo tanto, los ángulos $N\widehat{M}C$ y $B\widehat{N}A$ son iguales, por ser ángulos exteriores a los anteriores. Y como $NM=NA$ y $BN=MC$, los triángulos $BNA$ y $NMC$ son iguales por criterio $LAL$, de modo que $NC=AB$. De esto se desprende que los ángulos $N\widehat{A}B$ y $M\widehat{N}C$ son iguales.
Por opuestos por el vértice, $M\widehat{N}C=A\widehat{N}D$. Entonces $A\widehat{N}D=N\widehat{A}B$, por lo que el triángulo $ADN$ es isósceles, con $AD=DN$.
