OFO 2022 Problema 1

[Male Arias]

La famosa ciudad de El Plato, conocida por su falta de diagonales y cuna de olímpicos apasionados por la Teoría de Números, tuvo una cantidad récord de clasificados al Certamen Nacional de OMA $2021$. A pesar de la gran cantidad de olímpicos que iban a representar a El Plato, dicha ciudad no contaba con una sede propia, por lo que tuvieron que trasladarse hasta la ciudad de La Plata. Para organizar el traslado, Barta, la secretaria regional, decidió analizar las distintas opciones disponibles e hizo las siguientes observaciones:

• Si viajan en remises de cuatro personas, en uno van a tener que viajar tres olímpicos.
• Si viajan en combis de treinta personas, en una van a tener que viajar veintinueve olímpicos.
• Si viajan en bondis de cuarenta y dos personas, en uno van a tener que viajar cuarenta y un olímpicos.

Si se sabe que hubo menos de ochocientos clasificados, ¿cuántos aviones de doscientas personas se necesitarían como mínimo para trasladar a la delegación?

[Male Arias]

Aquí publicaremos la solución oficial.

[lola.m]

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Llamemos $x$ a la cantidad de olímpicos clasificados. Según lo que dice el enunciado:
$x$ tiene resto $3$ módulo $4$ $\to$ $x$ tiene resto $-1$ módulo $4$
$x$ tiene resto $29$ módulo $30$ $\to$ $x$ tiene resto $-1$ módulo $30$
$x$ tiene resto $41$ módulo $42$ $\to$ $x$ tiene resto $-1$ módulo $42$
Como $x$ tiene resto $-1$ módulo $4$, $30$ y $42$, $x$ tiene resto $-1$ módulo $mcm\{4,30,42\}$
$4=2^2$
$30=2\times 3\times 5$
$42=2\times 3\times 7$
$mcm\{4,30,42\}=2^2\times 3\times 5\times 7=420\to x$ tiene resto $-1$ módulo $420\to x=419$
El siguiente valor posible de $x$ es $839$, pero como $x$ es menor a $800$ el único valor posible para $x$ es $419$
Aclaración: descarto todos los posibles valores negativos de $x$ porque claramente no puede haber una cantidad negativa de olímpicos.
$419=200\times 2+19\to$ se necesitan mínimo $3$ aviones para que se puedan trasladar y en uno de ellos tienen que viajar $19$ personas.

[Gianni De Rico]

La solución de arriba está muy bien, vengo a dejar una forma un poco más elemental (para quienes recién estén arrancando) de hacer la primera parte

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Vamos a definir $x$ como la cantidad de olímpicos clasificados.
La condición "Si viajan en remises de cuatro personas, en uno van a tener que viajar tres olímpicos" nos dice que si viajara una persona más (por ejemplo, si Barta fuera de acompañante), entonces podrían ir todos en remises de cuatro personas, o sea que $x+1$ es un múltiplo de $4$ (esto es lo que significa que $x$ tenga resto $-1$ módulo $4$).
De la misma manera tenemos que $x+1$ es un múltiplo de $30$ y de $42$. Entonces $x+1$ es un múltiplo de $\operatorname{mcm}(4,30,42)=420$.