Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 2 Problema 2

[Fedex]

El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$ y es tal que $A\widehat BP=P\widehat CA$. El punto $Q$ es tal que $PBQC$ es un paralelogramo. Probar que $Q\widehat AB=P\widehat AC$.

[El gran Filipikachu;]

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N2 P2 simulacro poli.jpg

Sean $B'=AC\cap BP$ y $C'=AB \cap CP$.

Viendo los triángulos $ABB'$ y $ACC'$ podemos concluir que son semejantes ya que comparten el ángulo en $A$ y $A\widehat{B}B'=A\widehat{B}P=A\widehat{C}P=A\widehat{C}C'$
Como son semejantes, los ángulos $A\widehat{B'}B$ y $A\widehat{C'}C$ son iguales, de donde sacamos que $B\widehat{C'}C=B\widehat{B'}C$ por lo que $BC'B'C$ es cíclico y por potencia de un punto desde $A$, los triángulos $ABC$ y $AB'C'$ son semejantes.

Ahora, por ser $PBQC$ un paralelogramo, tenemos $CC'//BQ$ y $BB'//CQ$. Por lo tanto $A\widehat{C'}P=A\widehat{B}Q$ y $A\widehat{B'}P=A\widehat{C}Q$.

Realizando una reflexión de $AB'PC'$ por la bisectriz de $A$ seguida de una homotecia de razón $\frac{AB}{AB'}=\frac{AC}{AC'}$ lllevamos $B'$ a $B$, $C'$ a $C$ y $P$ a $P'$.

Veamos que $A\widehat{B}P'=A\widehat{B'}P=A\widehat{B'}B=A\widehat{C'}C=A\widehat{B}Q$.
Como $A\widehat{B}P'=A\widehat{B}Q$ y, analogamente,
$A\widehat{C}P'=A\widehat{C}Q$ podemos concluir que $P'=Q$

Como reflexión y homotecia mantienen los ángulos, $P\widehat{A}C=P\widehat{A}B'=P'\widehat{A}B=Q\widehat{A}B$ y estamos.