OFO 2023 Problema 5

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Joacoini

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OFO 2023 Problema 5

Mensaje sin leer por Joacoini »

Adriano dibuja en un pizarrón un cuadrado y $9$ rectas. Cada una de las rectas divide al cuadrado en dos cuadriláteros, de áreas $78$ y $86$. Demostrar que existen $3$ de las $9$ rectas que pasan por un mismo punto.
NO HAY ANÁLISIS.
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Joacoini

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Re: OFO 2023 Problema 5

Mensaje sin leer por Joacoini »

Aquí publicaremos la solución oficial.
NO HAY ANÁLISIS.
Tiziano Brunelli

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Re: OFO 2023 Problema 5

Mensaje sin leer por Tiziano Brunelli »

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tenía muchos errores por lo que terminé eliminando la solución, porque a pesar de ser corregible es con geometría analítica (mi solución) y es de mucho texto
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[spoiler][spoiler][spoiler][spoiler][spoiler][spoiler][spoiler][spoiler][spoiler][spoiler]no me deja editarlo porque tiene muy pocos caracteres
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Última edición por Tiziano Brunelli el Lun 13 Feb, 2023 8:59 pm, editado 12 veces en total.
Somos mágicos
Gerardo AM

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Re: OFO 2023 Problema 5

Mensaje sin leer por Gerardo AM »

Resolución:
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Se dirá que una recta cumple (o es cumplidora), si divide al cuadrado en dos cuadriláteros de áreas 78 y 86.

Para que una recta cumpla, debe intersecar al cuadrado dos veces, en lados opuestos del mismo (pues sino no se formarían dos cuadriláteros).

Se dirá que una recta es horizontal si interseca al cuadrado en sus lados "izquierdo" y "derecho", y vertical si lo hace en los lados "superior" e "inferior". Estas definiciones son meramente explicativas y la demostración no depende de ellas.

Nótese que existen dos tipos de rectas horizontales cumplidoras, de acuerdo a si el cuadrilátero de área 84 está "arriba" de ellas (tipo 1) o "abajo" (tipo 2).

Obsérvese que existe solo una recta cumplidora de tipo 1 que sea paralela a los lados "superior" e "inferior". Se dirá que el punto medio del segmento de esa recta (con extremos en los lados) es un punto de encuentro. Recibe este nombre debido a que si se traza otra recta horizontal por ese punto, ésta también será cumplidora de tipo 1 (Véase el Anexo I). A su vez, dada una dirección determinada, existe solo una recta cumplidora de tipo 1 con esa dirección: aquella que pasa por el punto de encuentro (Véase Anexo II)

Si se repite el análisis pero con el tipo 2, se llega a las mismas conclusiones; y si se lo repite respecto a las rectas verticales, también se concluye lo mismo.

En resumen, todas las rectas cumplidoras concurren en uno de 4 puntos de encuentro (según sean verticales u horizontales, de tipo 1 o tipo 2)

Dado que todas las rectas cumplidoras pasan por uno de 4 puntos y hay 9 rectas cumplidoras, por el Principio del Palomar de Dirichlet, habrá un punto (de encuentro) en que concurran al menos tres rectas.
Anexo I:
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Demostración de "si una recta pasa por un punto de encuentro, entonces es cumplidora".

Figura de análisis:
Figura de análisis 1 P5.PNG
Los lados rojos son iguales porque el punto de encuentro es punto medio.

Los ángulos verdes son iguales por ser alternos internos entre paralelas (los lados opuestos del cuadrado).

Los ángulos celestes son iguales por ser opuestos por el punto de encuentro

Como los triángulos I y II tienen dos ángulos en común y un lado igual, son congruentes.

Nótese que el área del cuadrilátero superior se vio reducida por el triángulo I, pero aumentada por el triángulo II. Sin embargo, como ambos tienen la misma área (pues son congruentes), el área del cuadrilátero superior sigue siendo 86 y, por ende, el inferior tiene área 78.
Anexo II:
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Demostración de "dada una orientación, existe una única recta cumplidora de tipo 1 con esa orientación (la que pasa por el punto de encuentro correspondiente)".

Figura de análisis:
Figura de análisis 2 P5.PNG
Si hubiera otra recta cumplidora de tipo 1 con esa dirección, sería paralela a la que pasa por el punto de encuentro y, por lo tanto, estaría o por encima o por debajo de ella. En cualquiera de los dos casos el área del cuadrilátero superior variaría (disminuyendo o aumentando, respectivamente) y, dado que dejaría de ser 86, la recta no podría ser cumplidora.
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