OFO 2023 Problema 2

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Turko Arias

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OFO 2023 Problema 2

Mensaje sin leer por Turko Arias »

En el trapecio $ABCD$ de bases $AD$ y $BC$, las diagonales se cortan en el punto $O$. Se sabe que $AO=CD$, $BC=OD$ y $AC$ es bisectriz de $B\widehat CD$. Hallar los ángulos del triángulo $ACD$.

Aclaración: La bisectriz de un ángulo es la recta que lo parte en dos ángulos iguales.
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Turko Arias

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Re: OFO 2023 Problema 2

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Aquí publicaremos la solución oficial.
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lola.m

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Re: OFO 2023 Problema 2

Mensaje sin leer por lola.m »

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ofo 2023 p2.PNG
Por alternos internos entre paralelas, $B\widehat{C}A=\alpha=D\widehat{A}C=A\widehat{C}D\to CD=AD$, $ACD=$ isósceles y $ADO=$ isósceles.
ofo 2023 p2'.PNG
Como $ADO=$ isósceles, $A\widehat{D}O=\beta=A\widehat{O}D$.
Por opuestos por vértice $A\widehat{O}D=\beta=B\widehat{O}C$.
Por alternos internos entre paralelas $A\widehat{D}O=\beta=O\widehat{B}C$.
Como $O\widehat{B}C=\beta=B\widehat{O}C$, $BCO=$ isósceles $\to BC=OC=OD\to COD=$ isósceles $\to O\widehat{C}D=\alpha=C\widehat{D}O$
ofo 2023 p2''.PNG
Ahora, por $COD$ tenemos que $C\widehat{O}D=180°-2\alpha$. Pero resulta que $C\widehat{O}D+A\widehat{O}D=180°\to 180°-2\alpha+\beta=180°\to \beta=2\alpha$.
Mirando el triángulo $ACD$ tenemos que $A\widehat{C}D+C\widehat{D}A+D\widehat{A}C=\alpha+\alpha+\alpha+\beta=180°\to 3\alpha+\beta=180°\to 5\alpha=180°\to \alpha=36°$.
Por lo tanto, $A\widehat{C}D=D\widehat{A}C=\alpha=36$ y $C\widehat{D}A=3\alpha=108°$.
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