$WLOG$ $a \geq b \geq c \Rightarrow \frac{a}{bc} \geq \frac{b}{ac} \geq \frac{c}{ab} \wedge a^2 \geq b^2 \geq c^2$
De donde por la desigualdad de Chebyshev
$\frac{\frac{a}{bc}.a^2+\frac{b}{ac}.b^2+\frac{c}{ab}.c^2}{3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3} . \frac{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}}{3}$
Resolviendo y simplificando se llega a
$\frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ac} + \frac{c^3}{ab} \geq \frac{ab}{c}
+ \frac{ac}{b} + \frac{cb}{a}$ $(1)$
Pero nótese que
$ 2.(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{cb}{a})= \frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}+\frac{ab}{b}+\frac{ac}{b}+\frac{cb}{a}+\frac{cb}{a} =b.(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) +a.( \frac{b}{c} + \frac{c}{b})+ c. (\frac{a}{b}+ \frac{b}{a})$
Es sabido que $x+\frac{1}{x} \geq 2 \forall x \in \mathbb{R^+} \Rightarrow b.(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) + a. (\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) +c.(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \geq 2b + 2a + 2c$
Por lo cual
$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b} +\frac{cb}{a} \geq a+b+c$ y con esto en $(1)$ se llega a lo pedido.
$WLOG$ $a \geq b \geq c \Rightarrow \frac{a}{bc} \geq \frac{b}{ac} \geq \frac{c}{ab} \wedge a^2 \geq b^2 \geq c^2$
De donde por la desigualdad de Chebyshev
$\frac{\frac{a}{bc}.a^2+\frac{b}{ac}.b^2+\frac{c}{ab}.c^2}{3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3} . \frac{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}}{3}$
Resolviendo y simplificando se llega a
$\frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ac} + \frac{c^3}{ab} \geq \frac{ab}{c}
+ \frac{ac}{b} + \frac{cb}{a}$ $(1)$
Pero nótese que
$ 2.(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{cb}{a})= \frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}+\frac{ab}{b}+\frac{ac}{b}+\frac{cb}{a}+\frac{cb}{a} =b.(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) +a.( \frac{b}{c} + \frac{c}{b})+ c. (\frac{a}{b}+ \frac{b}{a})$
Es sabido que $x+\frac{1}{x} \geq 2 \forall x \in \mathbb{R^+} \Rightarrow b.(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) + a. (\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) +c.(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \geq 2b + 2a + 2c$
Por lo cual
$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b} +\frac{cb}{a} \geq a+b+c$ y con esto en $(1)$ se llega a lo pedido.
Le agrego la demostración de $x + \frac{1}{x} \geq 2$ que subí el otro día: (valida para positivos)
Multiplicando por $abc$ a ambos lados (que no cambia el signo porque son todos positivos), la desigualdad es equivalente a$$a^4+b^4+c^4\geq a^2bc+ab^2c+abc^2,$$que es cierto por Muirhead ya que $(4,0,0)\succeq (2,1,1)$.
Por AM-GM:
$\frac{a^3}{bc} + b + c \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{bc}bc} = 3a$
$\frac{b^3}{ac} + a + c \geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{ac}ac} = 3b$
$\frac{c^3}{ba} + b + a \geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{ba}ba} = 3c$
Sumando todo:
$\frac{c^3}{ba} + b + a + \frac{b^3}{ac} + a + c \frac{a^3}{bc} + b + c \geq 3a + 3b + 3c$
$\frac{c^3}{ba} + \frac{b^3}{ac} + \frac{a^3}{bc}\geq a + b + c$
$$\therefore \boxed{\frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ac} + \frac{c^3}{ab} \geq a + b + c}$$
$WLOG$ $a \geq b \geq c \Rightarrow \frac{a}{bc} \geq \frac{b}{ac} \geq \frac{c}{ab} \wedge a^2 \geq b^2 \geq c^2$
De donde por la desigualdad de Chebyshev
$\frac{\frac{a}{bc}.a^2+\frac{b}{ac}.b^2+\frac{c}{ab}.c^2}{3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3} . \frac{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}}{3}$
Resolviendo y simplificando se llega a
$\frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ac} + \frac{c^3}{ab} \geq \frac{ab}{c}
+ \frac{ac}{b} + \frac{cb}{a}$ $(1)$
Pero nótese que
$ 2.(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{cb}{a})= \frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}+\frac{ab}{b}+\frac{ac}{b}+\frac{cb}{a}+\frac{cb}{a} =b.(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) +a.( \frac{b}{c} + \frac{c}{b})+ c. (\frac{a}{b}+ \frac{b}{a})$
Es sabido que $x+\frac{1}{x} \geq 2 \forall x \in \mathbb{R^+} \Rightarrow b.(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) + a. (\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) +c.(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \geq 2b + 2a + 2c$
Por lo cual
$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b} +\frac{cb}{a} \geq a+b+c$ y con esto en $(1)$ se llega a lo pedido.
Le agrego la demostración de $x + \frac{1}{x} \geq 2$ que subí el otro día: (valida para positivos)
Considerar un triángulo rectángulo de catetos $2, x-\frac{1}{x}$ y asumamos que $x > \frac{1}{x}$, luego la hipotenusa es $\sqrt{2^2 + (x-\frac{1}{x})^2} = \sqrt{4 + x^2 - 2 \frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2}} = x + \frac{1}{x}$
Dado que la hipotenusa es mayor que los catetos, entonces $\boxed{x + \frac{1}{x} \geq 2}$ (la igualdad se da cuando $x = \frac{1}{x}$)
Tenemos que\begin{align*}\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab} & =\frac{\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}}{2}+\frac{\frac{c^3}{ab}+\frac{a^3}{bc}}{2}+\frac{\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}}{2} \\
& \geq \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c} \\
& =\frac{\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}}{2}+\frac{\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}}{2}+\frac{\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}}{2} \\
& \geq a+b+c,
\end{align*}donde las desigualdades se dan por AM-GM ya que ocurren término a término.
Multiplicando por $abc$ a ambos lados (que no cambia el signo porque son todos positivos), la desigualdad es equivalente a$$a^4+b^4+c^4\geq a^2bc+ab^2c+abc^2,$$que es cierto por Muirhead ya que $(4,0,0)\succeq (2,1,1)$.
