ONEM 2024 Nacional alguina solución?

[Alberto calle]

Sea $$x = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{2024^{2024}}$$

Encuentre un número entero $n$ tal que $$n \leq 3x < n+1.$$

[Gianni De Rico]

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La idea es que $k^k$ crece tan rápido que la gran mayoría de los términos de esa suma van a estar muy muy cerquita de $0$, y por lo tanto van a ser irrelevantes para lo que buscamos calcular. Queremos encontrar un entero positivo $k$ tal que$$\frac{2024-(k-1)}{k^k}<\frac{1}{100}$$para poder calcular la suma de los primeros $k-1$ términos a mano y después acotar (ya va a quedar más claro de dónde sale ese $100$). Probando con los primeros números vemos que $k=7$ funciona. La suma de los primeros $6$ términos es aproximadamente (un poquito más que) $1,29$ (yo lo hice con la calcu, supongo que en la prueba no quedará otra que arremangarse y hacer las cuentas a mano). Y como la suma de los demás términos es positiva y menor que $\frac{1}{100}=0,01$, resulta que $1,29<x<1,31$, con lo que $3<3x<4$, y por lo tanto el $n$ buscado es $n=3$ (acá vemos que el $100$ salió de que ya teníamos un valor estimado para $x$ alrededor de $1,29$ y sabíamos que mucho más no iba a crecer, así que necesitábamos algo cerca de $0,01$ para poder garantizar que estaba entre $1,29$ y $1,31$, lo que nos daba la cota final).

Seguro hay mejores formas de hacer esto, como por ejemplo

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acotar los $\frac{1}{k^k}$ entre potencias de $10$ y de ahí sumar,

pero ahora me tengo que ir, así que lo veré cuando vuelva.