Ñandu - Zonal 2019 - Segundo Nivel - Problema 3

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Monazo

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Ñandu - Zonal 2019 - Segundo Nivel - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo » Dom 16 Jun, 2019 11:56 pm

Juan tiene $2$ fichas Rojas, $2$ fichas Azules, $1$ ficha Verde y $1$ ficha Negra.
Quiere ubicarlas, una en cada casilla de este tablero.

$$\begin{array}{|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline
& & & & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}$$

de modo que en la primera casilla siempre haya una ficha Roja.
¿De cuántas maneras distintas puede hacerlo? Explica como las contaste.

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Monazo

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Re: Ñandu - Zonal 2019 - Segundo Nivel - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo » Lun 17 Jun, 2019 12:44 am

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Dado que siempre tenemos una ficha Roja en el primer casillero, el problema es equivalente a pensar que tenemos un tablero de $5$ casillas pero en vez de tener $2$ fichas Rojas, tenemos ahora una sola.
Por lo tanto:
LLamamos $R$ a nuestra ficha Roja.
Llamamos $V$ a nuestra ficha Verde.
Llamamos $N$ a nuestra ficha Negra.
Llamamos $A_1$ a nuestra primera ficha azul.
Llamamos $A_2$ a nuestra segunda ficha azul.

Supongamos en un principio que todas las fichas son de distinto color. Aplicando el método básico de conteo vemos que:
Para la primera casilla tenemos $5$ posibilidades. (Tenemos $5$ fichas de distinto color).
Para la segunda casilla tenemos $4$ posibilidades. (Debido a que ya hemos utilizado una en la primera casilla y nos restan $4$).
Para la tercera casilla tenemos $3$ posibilidades. (Debido a que ya hemos utilizado dos fichas y nos restan $3$).
Para la cuarta casilla tenemos $2$ posibilidades. (Debido a que ya hemos utilizado $3$ fichas y nos restan $2$).
Para la quinta y última casilla tenemos $1$ posibilidad. (Ya hemos elegido anteriormente $4$ fichas y lo que nos queda es utilizar la última).

Teniendo esto en cuenta, la cantidad de formas de acomodar las fichas entre esos $5$ casilleros es de $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1= 120$ formas.

Sin embargo no tenemos $5$ colores distintos, notemos que tenemos dos fichas de color Azul. De modo de ejemplo observemos este caso.
Supongamos que una forma de acomodarlos sea:
$A_1\ V\ N\ R\ A_2$ y otra forma es $A_2\ V\ N\ R\ A_1$.
Notemos que al fin y al cabo estamos viendo lo mismo, porque no podemos diferenciar una ficha azul de otra. (Estamos siempre viendo $A\ V\ N\ R\ A$.
Por lo tanto, en nuestra cuenta obtenida anteriormente, estamos contando dos veces cada caso. Por lo que nuestro resultado obtenido lo debemos dividir por $2$. Finalmente:

La cantidad de posibilidades que existen son de $\frac{120}{2}=60$ formas.


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