REGIONAL ÑANDU N3 P3 2016

[CamiloN3]

Se quiere repartir 6 pañuelos de distintos colores (blanco, azul, rojo, negro, gris y verde) en 3 cajas: una de tapa ovalada, de tapa cuadrada y otra de tapa triangular. Si ninguna caja puede quedar vacía y el pañuelo verde siempre debe estar en la ovalada, ¿cuantas combinaciones existen?

PD: El problema no está redactado exactamente como es, pero el concepto es el mismo.

[Violeta]

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En vez de mirar el problema como [math]6 paños, [math]3 cajas, mirémoslo como [math]5 paños y [math]2 cajas.

Para la primera caja, tenemos [math]5 posibles colores (porque no podemos usar el verde) y para la segunda caja tenemos [math]4 posibles paños (porque no podemos usar el verde ni el que usamos en la primera caja).

Entonces, hay [math]5\times 4 =20 formas de poner los pañuelos en las cajas.

[CamiloN3]

Pero los pañuelos se pueden poner en la caja donde esta el verde, yo pensé algo parecido, pero considerá que se pueden poner en cada caja "4-1-1" pañuelos o "3-2-1", etc.

[Monazo]

Para resolver el problema hice lo siguiente

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Como el problema nos dice que no puede quedar ninguna caja vacía, entonces nuestro primer paso es ver de cuantas maneras podemos llenar las cajas con 3 pañuelos. Como la primera caja está ocupada, pueden ir 5 pañuelos en la segunda caja y 4 en la tercera. Por lo tanto hay 5x4=20 formas.
A partir de ahora tenemos que ver de cuantas maneras podemos repartir los 3 pañuelos que nos quedan, y para eso tenemos 3 variantes.
1) Si pongo los 3 pañuelos juntos es una caja, es fácil notar que hay solo 3 maneras de realizar dicha acción. Los pongo todos en la primera caja, los pongo en la segunda o en la tercera.
2) Que los 3 pañuelos estén en distintas cajas. Para este caso existen 3x2x1=6 maneras.
3) Que hayan dos pañuelos en una caja, y uno solo en otra. Este es el caso con más combinaciones posibles. Primero hay que notar que existen 6 maneras de acomodarlos en las cajas, y ellas son:
2-1-0 2-0-1 0-2-1 1-2-0 1-0-2 0-1-2
Luego hay que notar, que dentro de cualquiera de estas 6 maneras, hay 3 formas distintas de acomodar los colores, lo mostramos con el siguiente ejemplo.
(blanco y azul)-rojo (blanco y rojo)-azul (rojo y azul)-blanco. Por lo tanto existen 6x3=18 formas de acomodar 2 pañuelos en una caja y 1 en otra.

Para sacar la totalidad de combinaciones realizamos la siguiente cuenta: 5x4x(3+6+18)=540 combinaciones posibles

[Fran5]

Dejemos al pañuelo verde en su lugar. Luego nos quedan por distribuir [math]5 pañuelos entre las tres cajas.
Notemos que el color de cada pañuelo ó la caja a la que va no nos importa (mucho), puesto que la única condición que debe cumplirse es que no haya ninguna caja vacía.

Consideremos todas las formas de distribuir los pañuelos. Como tenemos tres cajas posibles para guardar cada uno, y son [math]5 pañuelos por distribuir, tenemos [math]3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5=243 posibilidades en total.

A estas posibilidades hay que restarles entonces aquellas que dejan una caja vacía. Ahora, notamos que es equivalente a restarle aquellas formas en las que los [math]5 pañuelos se distribuyen en sólo dos cajas. Luego tenemos que restar [math]2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2= 2^5=32 posibilidades por cada caja. Como la caja de tapa ovalada nunca queda completamente vacía, estas [math]32 posibilidades se restan sólo para la caja de tapa cuadrada y la de tapa triangular.
Es decir, restamos [math]32+32 = 64 posibilidades.

Pero notemos que estamos restando dos veces la posibilidad en la que los [math]6 pañuelos están en la caja de tapa ovalada, pues las otras dos cajas quedan completamente vacías, con lo cual hay que sumar [math]1 a nuestra cuenta final.

Entonces tenemos [math]243-64+1 = 180 posibilidades de distribuir los pañuelos en las [math]3 cajas.