Provincial Ñandu 2013 N3 P2

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Ivan

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Provincial Ñandu 2013 N3 P2

Mensaje sin leer por Ivan » Dom 01 Sep, 2013 11:16 pm

En la figura:
Los puntos $P$, $S$ y $T$ están en la circunferencia de centro $O$ y radio $OP$.
$OPRS$ es un cuadrado y $ABO$ es equilátero.
$R$ es el punto medio de $OB$.
$T$ es un punto de $OA$.
El arco de circunferencia $\overparen{TPS}$ tiene $43,96\mathrm{cm}$ de longitud.
¿Cuál es el área de la región sombreada?
Imagen
provnandu2013.png
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Provincial Ñandu 2013 N3 P2

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Lun 02 Sep, 2013 1:09 am

Spoiler: mostrar
El ángulo [math] mide [math]º por ser un ángulo de un equilátero y el ángulo [math] mide [math]º por ser la mitad de un ángulo recto ([math] es diagonal, por lo tanto bisectriz, del cuadrado), es decir que el ángulo [math] mide [math]º.

Como el ángulo [math] es el séxtuple del ángulo [math], en el arco [math] entran [math] arquitos [math]. Luego, el arco [math] mide [math] cm.

Como toda la circunferencia son [math] arquitos [math] (pues [math]º es [math] veces [math]º), el perímetro de la circunferencia mide [math] cm.

Es decir que [math]cm, luego [math]cm, donde [math] es el radio de la circunferencia.

Haciendo pitágoras en el triángulo [math], tenemos que [math]cm.

Como el triángulo [math] es la mitad de un equilátero, tenemos que [math]cm. Y por pitágoras en ese triángulo, [math]cm.

El área del triángulo [math] es [math].
El área del sector circular [math] es un octavo de la circunferencia (porque [math]º), es decir un octavo de [math]. O sea [math].

Luego, el área del pedacito blanco que falta para completar el triángulo [math] es [math].

El área del triángulo [math] es [math], luego si le restamos el pedacito blanco tenemos que la parte pintada del triángulo [math] es [math].

Finalmente el área pintada total es [math].
[math]

Pirógeno

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Ñandú - Provincial - 2013 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Pirógeno » Jue 27 Jun, 2019 3:04 am

En la figura:
n3 prov 2013 p2.jpg
Los puntos P, S y T están en la circunferencia de centro O y radio OP.
OPRS es un cuadrado y ABO es equilátero.
R es el punto medio de OB.
T es un punto de OA.
El arco de circunferencia $\widehat{TPS}$ tiene 43,96cm de longitud.
¿Cuál es el área de la región sombreada?
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