Regional Ñandú 2019 - Problema 3 - Nivel 3

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Luli97

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Regional Ñandú 2019 - Problema 3 - Nivel 3

Mensaje sin leer por Luli97 » Jue 05 Sep, 2019 4:00 pm

Juan tiene $5$ dados de colores: azul, blanco, negro, rojo y verde.
Cada dado tiene los números de $1$ al $6$.
Juan tiró los $5$ dados y la suma de los números que salieron dio $15$.
¿De cuántas maneras distintas pudo obtener ese resultado? Explica cómo las contaste.

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Monazo

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Re: Regional Ñandú 2019 - Problema 3 - Nivel 3

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 05 Sep, 2019 10:49 pm

Resolución del problema
Spoiler: mostrar
Para resolver este problema, hay que entender bastante de qué son las permutaciones. Acá en el post no voy a explicar toda la teoría de cómo se calculan, pero dejo otro problema a modo de ejemplo que quizás ayude a comprender mejor el problema.

"¿De cuántas maneras se pueden reordenar las letras de la palabra $BANANA$?

En un principio, nos pide la cantidad de permutaciones, que en un principio podemos pensar rápidamente que la solución es $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$, pero esto no es cierto, dado que para hacer esa cuenta las letras deben ser todas distintas y no lo son. Para que quede más claro, a las letras que son iguales las diferenciamos con un número. Es decir, obtenemos:
$BA_1N_1A_2N_2A_3$
Y si ahora las reordeno las letras '$A$' para que queden de la siguiente forma:
$BA_3N_1A_1N_2A_2$
Notenemos que obtenemos la misma palabra.
Esto se puede solucionar sencillamente. Para ello, contamos todas las permutaciones posibles imaginando que todas las letras son distintas. Luego a la solución la dividimos por el producto de las permutaciones posibles que existen para cada letra de manera que siga manteniendo la misma palabra.
Para este caso, la letra 'A' tiene $6$ permutaciones distintas, de manera tal que si las cambiamos de lugar entre ellas únicamente. la palabra sigue siendo la misma.
Lo mismo pasa para la letra $N$, que hay $2$ en total, por lo que la cantidad de permutaciones posibles es $2$ también.
Finalmente el resultado es $\frac{720}{6\cdot 2}=60$.

En caso de que aún tengan dudas acerca del ejemplo anterior, recomiendo que no dejen de leer acerca de las permutaciones, para un mejor compresión de este problema, y también para tener un buen manejo de esta herramienta que se ve en muchos problemas.

Volviendo al problema, en un principio hallamos todas las posibles formas de sumar $15$ dados los $5$ dados.

Combinaciones posibles

1) $1+1+1+6+6=15$
2) $1+1+2+5+6=15$
3) $1+1+3+5+5=15$
4) $1+1+3+4+5=15$
5) $1+1+4+4+5=15$
6) $1+2+2+4+6=15$
7) $1+2+2+5+5=15$
8) $1+2+3+3+6=15$
9) $1+2+3+4+5=15$
10) $1+2+4+4+4=15$
11) $1+3+3+3+5=15$
12) $1+3+3+4+4=15$
13) $2+2+2+3+6=15$
14) $2+2+2+4+5=15$
15) $2+2+3+3+5=15$
16) $2+2+3+4+4=15$
17) $2+3+3+3+4=15$
18) $3+3+3+3+3=15$

Dadas todas las posibles formas de encontrar que la suma de los $5$ dados de $15$, debemos encontrar todas las permutaciones para cada uno de los casos. Pero si notan bien, cada caso es un problema similar al que hemos analizado previamente con la palabra "$BANANA$". A partir de ahora escribo simplemente las ecuaciones para cada caso, de todas formas traten de aplicar lo explicado en el ejemplo para afianzar más el tema.

1) $1+1+1+6+6=15$ Permutaciones = $\frac{120}{6\cdot 2}=10$

2) $1+1+2+5+6=15$ Permutaciones = $\frac{120}{2}=60$

3) $1+1+3+5+5=15$ Permutaciones = $\frac{120}{2\cdot 2}=30$

4) $1+1+3+4+5=15$. Permutaciones = $\frac{120}{2}=60$

5) $1+1+4+4+5=15$. Permutaciones = $\frac{120}{2\cdot 2}=30$

6) $1+2+2+4+6=15$. Permutaciones = $\frac{120}{2}=60$

7) $1+2+2+5+5=15$. Permutaciones = $\frac{120}{2\cdot 2}=30$

8) $1+2+3+3+6=15$. Permutaciones = $\frac{120}{2}=60$

9) $1+2+3+4+5=15$. Permutaciones = $120$

10) $1+2+4+4+4=15$. Permutaciones = $\frac{120}{6}=20$

11) $1+3+3+3+5=15$. Permutaciones = $\frac{120}{6}=20$

12) $1+3+3+4+4=15$. Permutaciones = $\frac{120}{2\cdot 2}=30$

13) $2+2+2+3+6=15$. Permutaciones = $\frac{120}{6}=20$

14) $2+2+2+4+5=15$. Permutaciones = $\frac{120}{6}=20$

15) $2+2+3+3+5=15$. Permutaciones = $\frac{120}{2\cdot 2}=30$

16) $2+2+3+4+4=15$. Permutaciones = $\frac{120}{2\cdot 2}=30$

17) $2+3+3+3+4=15$. Permutaciones = $\frac{120}{6}=20$

18) $3+3+3+3+3=15$. Permutaciones = $\frac{120}{120}=1$

Si sumamos todas las permutaciones de todos los casos obtenemos:

Resultado=$651$
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