Las soluciones posteadas en este foro tienen que usar conocimientos aptos para un participante de Ñandú. Cualquier solución que use conocimientos demasiado avanzados será borrada.
Las soluciones deberán estar explicadas lo más didácticamente posible (esto es más que nada una recomendación para los más grandes).
Al subir un problema hay que indicar certamen, año, nivel al que pertenece y número de problema.
Juan tiene $5$ dados de colores: azul, blanco, negro, rojo y verde.
Cada dado tiene los números de $1$ al $6$.
Juan tiró los $5$ dados y la suma de los números que salieron dio $15$.
¿De cuántas maneras distintas pudo obtener ese resultado? Explica cómo las contaste.
Para resolver este problema, hay que entender bastante de qué son las permutaciones. Acá en el post no voy a explicar toda la teoría de cómo se calculan, pero dejo otro problema a modo de ejemplo que quizás ayude a comprender mejor el problema.
"¿De cuántas maneras se pueden reordenar las letras de la palabra $BANANA$?
En un principio, nos pide la cantidad de permutaciones, que en un principio podemos pensar rápidamente que la solución es $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$, pero esto no es cierto, dado que para hacer esa cuenta las letras deben ser todas distintas y no lo son. Para que quede más claro, a las letras que son iguales las diferenciamos con un número. Es decir, obtenemos:
$BA_1N_1A_2N_2A_3$
Y si ahora las reordeno las letras '$A$' para que queden de la siguiente forma:
$BA_3N_1A_1N_2A_2$
Notenemos que obtenemos la misma palabra.
Esto se puede solucionar sencillamente. Para ello, contamos todas las permutaciones posibles imaginando que todas las letras son distintas. Luego a la solución la dividimos por el producto de las permutaciones posibles que existen para cada letra de manera que siga manteniendo la misma palabra.
Para este caso, la letra 'A' tiene $6$ permutaciones distintas, de manera tal que si las cambiamos de lugar entre ellas únicamente. la palabra sigue siendo la misma.
Lo mismo pasa para la letra $N$, que hay $2$ en total, por lo que la cantidad de permutaciones posibles es $2$ también.
Finalmente el resultado es $\frac{720}{6\cdot 2}=60$.
En caso de que aún tengan dudas acerca del ejemplo anterior, recomiendo que no dejen de leer acerca de las permutaciones, para un mejor compresión de este problema, y también para tener un buen manejo de esta herramienta que se ve en muchos problemas.
Volviendo al problema, en un principio hallamos todas las posibles formas de sumar $15$ dados los $5$ dados.
Dadas todas las posibles formas de encontrar que la suma de los $5$ dados de $15$, debemos encontrar todas las permutaciones para cada uno de los casos. Pero si notan bien, cada caso es un problema similar al que hemos analizado previamente con la palabra "$BANANA$". A partir de ahora escribo simplemente las ecuaciones para cada caso, de todas formas traten de aplicar lo explicado en el ejemplo para afianzar más el tema.
