Nacional Ñandú 2021 - Nivel 3 - Problema 1
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yain.arias
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Nacional Ñandú 2021 - Nivel 3 - Problema 1
Micaela quiere guardar monedas de $1$ peso en una alcancía.
El primer día pone una cantidad de monedas en la alcancía y cada día siguiente pone una moneda más que el día anterior. Hace esto una cierta cantidad de días hasta que al colocar todas las monedas del último día en la alcancía hay exactamente $210$ monedas.
¿Durante cuántos días hizo esto Micaela? Da todas las posibilidades y explicá por qué no hay otras.
El primer día pone una cantidad de monedas en la alcancía y cada día siguiente pone una moneda más que el día anterior. Hace esto una cierta cantidad de días hasta que al colocar todas las monedas del último día en la alcancía hay exactamente $210$ monedas.
¿Durante cuántos días hizo esto Micaela? Da todas las posibilidades y explicá por qué no hay otras.
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Fran5
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Re: Nacional Ñandú 2021 - Nivel 3 - Problema 1
Magnífico problema para introducir (redoble de tambor...)
Aunque el problema actual es Ambas cosas son interesantes en OMA tanto en $2$do como en $3$er nivel.
.----------------
Vamos a una solución ñandú friendly:
Vamos a separar en casos: ¿Cuántos días pudo estar ahorrando?
Claramente el mínimo es un día, y entonces tuvo que haber puesto $210$ pesos ese día.
El máximo de días corresponde cuando empieza ahorrando con lo mínimo, que es $1$ peso, de modo que habrá ahorrado
$1+2+3 + \ldots$ pesos. Si seguimos contando, encontramos que para $20$ días ahorró $1+2+3+\ldots + 20 =210$ pesos.
Luego estuvo entre $1$ y $20$ días ahorrando.
Si ahorró por dos días, no podría llegar a $210$, ya que $104+105 = 209$ es menor y $105+106 = 211$ es mayor. Luego no hay posibilidades
Si ahorró por tres días, entonces probamos y vemos que tuvo que haber ahorrado $69$ el primer día y luego $70$ y $71$, ya que $69+70+71 =210$.
Si ahorró por cuatro días, entonces tuvo que haber ahorrado $51$ el primer día, y luego $52,53,54$
Si ahorró por cinco días, entonces tuvo que haber ahorrado $40$ el primer día, y luego $41,42,43,44$.
Si ahorró por seis días, no podría llegar a $210$, ya que $32 + 33+34+35+36+37 = 207$ y $33+34+35+36+37+38 = 213$
Si ahorró por siete días, entonces tuvo que haber ahorrado $27$ el primer día, y luego $28,29,30,31,32,33$.
Y así siguiendo...
Vemos algo particular: Si ahorró una cantidad impar de días, entonces el número del medio resulta un divisor de $210$. En efecto:
Si ahorró tres días, ahorró $70 = \dfrac{210}{3}$ el día del medio
Si ahorró cinco días, ahorró $42=\dfrac{210}{5}$ el día del medio
Si ahorró siete días, ahorró $30= \dfrac{210}{7}$ el día del medio
Si ahorró una cantidad par de días, entonces como no hay número del medio entonces $ \dfrac{210}{d}$ tiene que ser un número terminado en coma5
Si ahorró $4$ días, entonces $\dfrac{210}{4} = 52,5$ y ahorró $51+52$ pesos la primer mitad y $53+ 54$ pesos la segunda mitad
Si ahorró $12$ días, entonces $\dfrac{210}{12} = 17,5$, y ahorró $12+13+14+15+16+17$ pesos la primer mitad y $18+19+20+21+22+23$ pesos la segunda mitad.
Luego tenemos un criterio para ver si una cantidad de días es válida para llegar a ahorrar $210$ pesos.
$\dfrac{210}{1} = 210$, luego con $1$ se puede ($210$)
$\dfrac{210}{3} = 70$, luego con $3$ se puede ($69,70,71$)
$\dfrac{210}{5} = 42$, luego con $5$ se puede ($40,41,42,43,44$)
$\dfrac{210}{7} = 30$, luego con $7$ se puede ($27,28,29,30,31,32,33$)
$\dfrac{210}{11} = 19,09$, luego con $11$ no se puede
$\dfrac{210}{13} = 16,15$, luego con $13$ no se puede
$\dfrac{210}{15} = 14$, luego con $15$ se puede ($7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21$)
$\dfrac{210}{17} = 12,35$, luego con $17$ no se puede
$\dfrac{210}{19} = 11,05$, luego con $19$ no se puede
Ahora los pares
$\dfrac{210}{2} = 105$, luego con $2$ no se puede
$\dfrac{210}{4} = 52,5$, luego con $4$ sí se puede ($51,52;53,54$)
$\dfrac{210}{6} = 35$, luego con $6$ no se puede
$\dfrac{210}{8} = 26,25$, luego con $8$ no se puede
$\dfrac{210}{10} = 21$, luego con $10$ no se puede
$\dfrac{210}{12} = 12,5$, luego con $12$ sí se puede ($7,8,9,10,11,12; 13,14,15,16,17,18$)
$\dfrac{210}{14} = 15$, luego con $14$ no se puede
$\dfrac{210}{16} = 13,12$, luego con $16$ no se puede
$\dfrac{210}{18} = 11,66$, luego con $18$ no se puede
$\dfrac{210}{20} = 10,5$, luego con $20$ se puede ($1, 2, \ldots 10; 11, \ldots, 20$)
En total hay $8$ posiblidades
Aunque el problema actual es Ambas cosas son interesantes en OMA tanto en $2$do como en $3$er nivel.
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Vamos a una solución ñandú friendly:
Vamos a separar en casos: ¿Cuántos días pudo estar ahorrando?
Claramente el mínimo es un día, y entonces tuvo que haber puesto $210$ pesos ese día.
El máximo de días corresponde cuando empieza ahorrando con lo mínimo, que es $1$ peso, de modo que habrá ahorrado
$1+2+3 + \ldots$ pesos. Si seguimos contando, encontramos que para $20$ días ahorró $1+2+3+\ldots + 20 =210$ pesos.
Luego estuvo entre $1$ y $20$ días ahorrando.
Si ahorró por dos días, no podría llegar a $210$, ya que $104+105 = 209$ es menor y $105+106 = 211$ es mayor. Luego no hay posibilidades
Si ahorró por tres días, entonces probamos y vemos que tuvo que haber ahorrado $69$ el primer día y luego $70$ y $71$, ya que $69+70+71 =210$.
Si ahorró por cuatro días, entonces tuvo que haber ahorrado $51$ el primer día, y luego $52,53,54$
Si ahorró por cinco días, entonces tuvo que haber ahorrado $40$ el primer día, y luego $41,42,43,44$.
Si ahorró por seis días, no podría llegar a $210$, ya que $32 + 33+34+35+36+37 = 207$ y $33+34+35+36+37+38 = 213$
Si ahorró por siete días, entonces tuvo que haber ahorrado $27$ el primer día, y luego $28,29,30,31,32,33$.
Y así siguiendo...
Vemos algo particular: Si ahorró una cantidad impar de días, entonces el número del medio resulta un divisor de $210$. En efecto:
Si ahorró tres días, ahorró $70 = \dfrac{210}{3}$ el día del medio
Si ahorró cinco días, ahorró $42=\dfrac{210}{5}$ el día del medio
Si ahorró siete días, ahorró $30= \dfrac{210}{7}$ el día del medio
Si ahorró una cantidad par de días, entonces como no hay número del medio entonces $ \dfrac{210}{d}$ tiene que ser un número terminado en coma5
Si ahorró $4$ días, entonces $\dfrac{210}{4} = 52,5$ y ahorró $51+52$ pesos la primer mitad y $53+ 54$ pesos la segunda mitad
Si ahorró $12$ días, entonces $\dfrac{210}{12} = 17,5$, y ahorró $12+13+14+15+16+17$ pesos la primer mitad y $18+19+20+21+22+23$ pesos la segunda mitad.
Luego tenemos un criterio para ver si una cantidad de días es válida para llegar a ahorrar $210$ pesos.
$\dfrac{210}{1} = 210$, luego con $1$ se puede ($210$)
$\dfrac{210}{3} = 70$, luego con $3$ se puede ($69,70,71$)
$\dfrac{210}{5} = 42$, luego con $5$ se puede ($40,41,42,43,44$)
$\dfrac{210}{7} = 30$, luego con $7$ se puede ($27,28,29,30,31,32,33$)
$\dfrac{210}{11} = 19,09$, luego con $11$ no se puede
$\dfrac{210}{13} = 16,15$, luego con $13$ no se puede
$\dfrac{210}{15} = 14$, luego con $15$ se puede ($7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21$)
$\dfrac{210}{17} = 12,35$, luego con $17$ no se puede
$\dfrac{210}{19} = 11,05$, luego con $19$ no se puede
Ahora los pares
$\dfrac{210}{2} = 105$, luego con $2$ no se puede
$\dfrac{210}{4} = 52,5$, luego con $4$ sí se puede ($51,52;53,54$)
$\dfrac{210}{6} = 35$, luego con $6$ no se puede
$\dfrac{210}{8} = 26,25$, luego con $8$ no se puede
$\dfrac{210}{10} = 21$, luego con $10$ no se puede
$\dfrac{210}{12} = 12,5$, luego con $12$ sí se puede ($7,8,9,10,11,12; 13,14,15,16,17,18$)
$\dfrac{210}{14} = 15$, luego con $14$ no se puede
$\dfrac{210}{16} = 13,12$, luego con $16$ no se puede
$\dfrac{210}{18} = 11,66$, luego con $18$ no se puede
$\dfrac{210}{20} = 10,5$, luego con $20$ se puede ($1, 2, \ldots 10; 11, \ldots, 20$)
En total hay $8$ posiblidades
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //