Nacional Ñandú 2021 - Nivel 3 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Reglas del Foro
  • Las soluciones posteadas en este foro tienen que usar conocimientos aptos para un participante de Ñandú. Cualquier solución que use conocimientos demasiado avanzados será borrada.
  • Las soluciones deberán estar explicadas lo más didácticamente posible (esto es más que nada una recomendación para los más grandes).
  • Al subir un problema hay que indicar certamen, año, nivel al que pertenece y número de problema.
Avatar de Usuario
yain.arias

OFO - Mención-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2022
Mensajes: 111
Registrado: Lun 02 Sep, 2013 12:35 am
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: La Plata, Buenos Aires
Contactar:

Nacional Ñandú 2021 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por yain.arias »

Micaela quiere guardar monedas de $1$ peso en una alcancía.
El primer día pone una cantidad de monedas en la alcancía y cada día siguiente pone una moneda más que el día anterior. Hace esto una cierta cantidad de días hasta que al colocar todas las monedas del último día en la alcancía hay exactamente $210$ monedas.
¿Durante cuántos días hizo esto Micaela? Da todas las posibilidades y explicá por qué no hay otras.

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Jurado-FOFO Pascua 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años
OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 1125
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 22
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Nacional Ñandú 2021 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 »

Magnífico problema para introducir (redoble de tambor...)
Spoiler: mostrar
Suma de términos consecutivos en una progresión aritmética!
Aunque el problema actual es
Spoiler: mostrar
Suma de números consecutivos
Ambas cosas son interesantes en OMA tanto en $2$do como en $3$er nivel.

.----------------

Vamos a una solución ñandú friendly:

Vamos a separar en casos: ¿Cuántos días pudo estar ahorrando?
Claramente el mínimo es un día, y entonces tuvo que haber puesto $210$ pesos ese día.
El máximo de días corresponde cuando empieza ahorrando con lo mínimo, que es $1$ peso, de modo que habrá ahorrado
$1+2+3 + \ldots$ pesos. Si seguimos contando, encontramos que para $20$ días ahorró $1+2+3+\ldots + 20 =210$ pesos.

Luego estuvo entre $1$ y $20$ días ahorrando.

Si ahorró por dos días, no podría llegar a $210$, ya que $104+105 = 209$ es menor y $105+106 = 211$ es mayor. Luego no hay posibilidades

Si ahorró por tres días, entonces probamos y vemos que tuvo que haber ahorrado $69$ el primer día y luego $70$ y $71$, ya que $69+70+71 =210$.

Si ahorró por cuatro días, entonces tuvo que haber ahorrado $51$ el primer día, y luego $52,53,54$

Si ahorró por cinco días, entonces tuvo que haber ahorrado $40$ el primer día, y luego $41,42,43,44$.

Si ahorró por seis días, no podría llegar a $210$, ya que $32 + 33+34+35+36+37 = 207$ y $33+34+35+36+37+38 = 213$

Si ahorró por siete días, entonces tuvo que haber ahorrado $27$ el primer día, y luego $28,29,30,31,32,33$.

Y así siguiendo...

Vemos algo particular: Si ahorró una cantidad impar de días, entonces el número del medio resulta un divisor de $210$. En efecto:
Si ahorró tres días, ahorró $70 = \dfrac{210}{3}$ el día del medio
Si ahorró cinco días, ahorró $42=\dfrac{210}{5}$ el día del medio
Si ahorró siete días, ahorró $30= \dfrac{210}{7}$ el día del medio

Si ahorró una cantidad par de días, entonces como no hay número del medio entonces $ \dfrac{210}{d}$ tiene que ser un número terminado en coma5
Si ahorró $4$ días, entonces $\dfrac{210}{4} = 52,5$ y ahorró $51+52$ pesos la primer mitad y $53+ 54$ pesos la segunda mitad
Si ahorró $12$ días, entonces $\dfrac{210}{12} = 17,5$, y ahorró $12+13+14+15+16+17$ pesos la primer mitad y $18+19+20+21+22+23$ pesos la segunda mitad.

Luego tenemos un criterio para ver si una cantidad de días es válida para llegar a ahorrar $210$ pesos.

$\dfrac{210}{1} = 210$, luego con $1$ se puede ($210$)

$\dfrac{210}{3} = 70$, luego con $3$ se puede ($69,70,71$)

$\dfrac{210}{5} = 42$, luego con $5$ se puede ($40,41,42,43,44$)

$\dfrac{210}{7} = 30$, luego con $7$ se puede ($27,28,29,30,31,32,33$)

$\dfrac{210}{11} = 19,09$, luego con $11$ no se puede

$\dfrac{210}{13} = 16,15$, luego con $13$ no se puede

$\dfrac{210}{15} = 14$, luego con $15$ se puede ($7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21$)

$\dfrac{210}{17} = 12,35$, luego con $17$ no se puede

$\dfrac{210}{19} = 11,05$, luego con $19$ no se puede

Ahora los pares

$\dfrac{210}{2} = 105$, luego con $2$ no se puede

$\dfrac{210}{4} = 52,5$, luego con $4$ sí se puede ($51,52;53,54$)

$\dfrac{210}{6} = 35$, luego con $6$ no se puede

$\dfrac{210}{8} = 26,25$, luego con $8$ no se puede

$\dfrac{210}{10} = 21$, luego con $10$ no se puede

$\dfrac{210}{12} = 12,5$, luego con $12$ sí se puede ($7,8,9,10,11,12; 13,14,15,16,17,18$)

$\dfrac{210}{14} = 15$, luego con $14$ no se puede

$\dfrac{210}{16} = 13,12$, luego con $16$ no se puede

$\dfrac{210}{18} = 11,66$, luego con $18$ no se puede

$\dfrac{210}{20} = 10,5$, luego con $20$ se puede ($1, 2, \ldots 10; 11, \ldots, 20$)

En total hay $8$ posiblidades
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //

Responder