ÑANDU NACIONAL 2012 N1 P3

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barba
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ÑANDU NACIONAL 2012 N1 P3

Mensaje sin leer por barba » Mar 15 Oct, 2013 2:28 pm

En el tablero, las casillas marcadas están pintadas de negro.
Se quieren pintar todas las otras casillas de azul, rojo, verde o negro, cada una de un color, de modo que en cada fila y en cada columna haya una casilla de cada color.
¿De cuántas maneras se puede hacer?
Explica cómo las contaste.
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Ivan

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Re: ÑANDU NACIONAL 2012 N1 P3

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 18 Oct, 2013 5:08 pm

Spoiler: mostrar
El tablero al comienzo está así

\begin{align*}
&\\[-0.1in]
&\square\blacksquare\square\square \\[-1in]
&\square\square\square\square \\[-0.1in]
&\blacksquare\square\square\square \\[-0.1in]
&\square\square\square\square
\end{align*}
Tenemos $6$ formas de llenar la primer fila y en todos los casos la cantidad de formas de llenar el resto del tablero es la misma.
Una de esas formas es:$$\\
{\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
\square\square\square\square\\
\blacksquare\square\square\square\\
\square\square\square\square$$Ahora hay $2$ formas de llenar la primer columna. La cantidad de formas de llenar lo que falta es la misma en ambos casos (es importante detenerse un momento y convencerse de esto).
Solamente tenemos que ver de cuantas formas se puede llenar este tablero y al final multiplicar por $6\times 2=12$:$$\\
{\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
{\color{Green}\blacksquare}\square\square\square\\
\blacksquare\square\square\square\\
{\color{Blue}\blacksquare}\square\square\square$$ Para la casilla de la segunda fila y la segunda columna tenemos dos opciones: pintarla de rojo o de azul. Deberemos mirar ambos casos por separado y sumar las dos cantidades:
  • Primer caso:
    Debemos llenar $$\\
    {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
    {\color{Green}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}\square\square\\
    \blacksquare\square\square\square\\
    {\color{Blue}\blacksquare}\square\square\square$$
    La casilla en la segunda fila y cuarta columna necesariamente tiene que ser negra. La casilla en la cuarta fila y segunda columna necesariamente tiene que ser verde. Ahora tenemos que terminar de llenar este tablero: $$\\
    {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
    {\color{Green}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}\square{\color{Black}\blacksquare}\\
    \blacksquare\square\square\square\\
    {\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}\square\square$$ Ahora quedan determinadas la casilla de la segunda fila y tercera columna y de la tercera fila y segunda columna: $$\\
    {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
    {\color{Green}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}\\
    \blacksquare{\color{Blue}\blacksquare}\square\square\\
    {\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}\square\square$$ Nos falta pintar una casilla de verde. Como las demás filas ya tienen una casilla verde, tiene que estar en la tercera fila. Como las otras columnas ya tienen una casilla verde, tiene que estar en la cuarta columna. Entonces la casilla en la tercera fila y la cuarta columna es verde. Con el mismo razonamiento se ve que la casilla de la cuarta fila y la tercera columna es negra. Nos queda llenar este tablero: $$\\
    {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
    {\color{Green}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}\\
    \blacksquare{\color{Blue}\blacksquare}\square{\color{Green}\blacksquare} \\
    {\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}\square$$ Las dos casillas que falta pintar son rojas y terminamos de llenar el tablero :D $$\\
    {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
    {\color{Green}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}\\
    \blacksquare{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare} \\
    {\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}$$
    Entonces en el primer caso hay $1$ forma de completar el tablero.
  • Segundo caso:
    Debemos llenar $$\\
    {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
    {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\square\square\\
    \blacksquare\square\square\square\\
    {\color{Blue}\blacksquare}\square\square\square$$
    Ya hay tres casillas azules. Con el razonamiento de antes la casilla azul que falta está en la tercera fila y tercera columna:$$\\
    {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
    {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\square\square\\
    \blacksquare\square{\color{Blue}\blacksquare}\square\\
    {\color{Blue}\blacksquare}\square\square\square$$ Ahora nuevamente no nos queda otra que separar en dos casos, según el color de la casilla en la segunda fila y tercera columna (que puede ser negra o roja):
    • Primer subcaso:$$\\
      {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
      {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}\square\\
      \blacksquare\square{\color{Blue}\blacksquare}\square\\
      {\color{Blue}\blacksquare}\square\square\square$$
      La cuarta casilla de la segunda fila necesariamente es roja. Hay tres casillas negras, y como antes la casilla en la cuarta fila y cuarta columna es negra:
      $$\\
      {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
      {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}\\
      \blacksquare\square{\color{Blue}\blacksquare}\square\\
      {\color{Blue}\blacksquare}\square\square{\color{Black}\blacksquare}$$ Ahora la casilla en la tercera fila y cuarta columna es verde y la casilla en la cuarta fila y tercera columna es roja: $$\\
      {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
      {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}\\
      \blacksquare\square{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}\\
      {\color{Blue}\blacksquare}\square{\color{Red}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}$$ Las dos casillas que falta llenar están determinadas: $$\\
      {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
      {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}\\
      \blacksquare{\color{Red}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}\\
      {\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}$$ Entonces en el primer subcaso hay una posibilidad.
    • Segundo subcaso:$$\\
      {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
      {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}\square\\
      \blacksquare\square{\color{Blue}\blacksquare}\square\\
      {\color{Blue}\blacksquare}\square\square\square$$ La casilla de la segunda fila y cuarta columna necesariamente es negra, lo mismo ocurre con la casilla de la cuarta fila y tercera columna: $$\\
      {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
      {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}\\
      \blacksquare\square{\color{Blue}\blacksquare}\square\\
      {\color{Blue}\blacksquare}\square{\color{Black}\blacksquare}\square$$ Ahora podemos pintar la casilla de la tercera fila y segunda columna de rojo o de verde. En ambos casos todas las demás casillas quedan determinadas y nos quedan estos dos tableros (no hago el argumento en detalle para no alargar la solución, creo que a ojo se ve que pintando esa casilla lo demás está determinado):
      $\\
      {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
      {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}\\
      \blacksquare{\color{Red}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}\\
      {\color{Blue}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}$ y $\\
      {\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
      {\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}\\
      \blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}\\
      {\color{Blue}\blacksquare}{\color{Red}\blacksquare}{\color{Black}\blacksquare}{\color{Green}\blacksquare}$
      Luego en el segundo subcaso hay $2$ opciones.
    Sumando tenemos que en el segundo caso hay $1+2=3$ opciones.
Entonces la cantidad de formas de llenar $$\\
{\color{Red}\blacksquare}\blacksquare{\color{Green}\blacksquare}{\color{Blue}\blacksquare}\\
{\color{Green}\blacksquare}\square\square\square\\
\blacksquare\square\square\square\\
{\color{Blue}\blacksquare}\square\square\square$$ es $1+3=4$. Recordando que teníamos que multiplicar por $12$ ese número nos queda que la respuesta es $12\times 4 = \fbox{48}$ :D
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

barba
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Re: ÑANDU NACIONAL 2012 N1 P3

Mensaje sin leer por barba » Lun 21 Oct, 2013 12:52 pm

Excelente respuesta Ivan. Gracias.

Pirógeno

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Ñandú - Nacional - 2012 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Pirógeno » Mar 24 Sep, 2019 11:24 am

En el tablero, las casillas marcadas están pintadas de negro.
n1 nac 2012 p3.jpg
Se quieren pintar todas las otras casillas de azul, rojo, verde o negro, cada una de un color, de modo que en cada fila y en cada columna haya una casilla de cada color.
¿De cuántas maneras se puede hacer?
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