Ñandú - Nacional - 2010 - Nivel 1 - Problema 2

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Pirógeno

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Ñandú - Nacional - 2010 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por Pirógeno » Mar 24 Sep, 2019 11:02 am

$ABEF$ es un rectángulo, $AB=2BE$.
$CDE$ es un triángulo isósceles; $CD=DE$.
Los triángulos $BCD$ y $FED$ son iguales, $BC=FE$.
Los triángulos $BCE$ y $CDE$ tienen igual perímetro.
El perímetro de $ABDF$ es $288\text{ cm}$.
n1 nac 2010 p2.jpg
¿Cuál es el perímetro de $ABCDF$?
¿Cuál es el perímetro de $BCD$?
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Luli97

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Re: Ñandú - Nacional - 2010 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por Luli97 » Mar 07 Abr, 2020 1:56 pm

Spoiler: mostrar
El perímetro de $ABDF$ es la suma de los lados $AB$, $BD$, $DF$ y $AF$. Haciendo las siguiente observaciones:
  • $AB$ entra $2$ veces el lado $BE$
  • $AF=BE$ por $ABEF$ ser un rectángulo
  • $DF=BD=BE+DE$
Podemos decir que para calcular el perímetro de $ABDF$ debemos sumar $5$ veces el lado $BE$ y $2$ veces el lado $DE$, es decir, $288=5\times BE+2\times DE$.

Por otro lado, sabemos que los triángulos $BCE$ y $CDE$ tienen igual perímetro, esto quiere decir que $DE+DC= BE+BC$ pues los triángulos tienen el lado $CE$ en común. Como $CD=DE$ y $BC=EF=2 \times BE$, la igualdad $DE+DC= BE+BC$ podemos convertirla en $2 \times DE= 3 \times BE$.

Ahora, usando que $288=5\times BE+2\times DE$ y $2 \times DE= 3 \times BE$, podemos decir que $288=8 \times BE$ y así calculamos el lado $BE$ que mide $36$. Tenemos también que $72=3 \times BE$, entonces $BE$ mide $24$.

Ya conocemos las longitudes de todos los lados, así que sólo queda sumar:

$Per(ABCDF)= AB+BC+CD+DF +AF= 2 \times 24+2 \times 24+36+(36+24)+24= 216$
$Per(BCD)= BC+CD+BD=2\times 24+36+(36+24) =120$

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