XXIX Olimpíada Matemática Ñandú - Certamen Intercolegial - Problema 6 / Nivel 2

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Sandy

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XXIX Olimpíada Matemática Ñandú - Certamen Intercolegial - Problema 6 / Nivel 2

Mensaje sin leer por Sandy »

Para completar un cartel como este "Z ____ L ____ GIC ____" hay que escribir exactamente $8$ letras "O". Las letras deben ubicarse en los huecos y ninguno de los tres huecos debe quedar vacío. ¿Cuántos carteles distintos se pueden hacer?
Fallo inapelable.

roxana
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Re: XXIX Olimpíada Matemática Ñandú - Certamen Intercolegial - Problema 6 / Nivel 2

Mensaje sin leer por roxana »

Hola aca estamos con la misma duda que para el ejercicio de los asientos en el recital. Armamos casero algo pero entiendo que debe haber algun tipo de procedimiento que desconocemos. Si pueden informarnos, agradecidos.

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Gianni De Rico

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Re: XXIX Olimpíada Matemática Ñandú - Certamen Intercolegial - Problema 6 / Nivel 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

roxana escribió:
Mié 18 May, 2022 11:08 am
Hola aca estamos con la misma duda que para el ejercicio de los asientos en el recital. Armamos casero algo pero entiendo que debe haber algun tipo de procedimiento que desconocemos. Si pueden informarnos, agradecidos.
Este es un poco más complicado que el anterior, el procedimiento que estás buscando (lo que yo entiendo como "la forma más rápida de hacerlo") es algo que se conoce como Cajitas y Bolitas, pero es un resultado teórico más apto para gente de secundaria, la explicación sin usar eso es un poco más larga.

La observación más importante (en el sentido de que nos permite reducir mucho la cantidad de casos a contar) es observar que como ningún hueco puede quedar vacío, entonces tenemos que poner si o si al menos una letra $O$ en cada hueco. Una vez hecho esto, nos quedan $5$ letras $O$ que tenemos que repartir entre $3$ huecos, sin ninguna condición extra (podemos poner todas las letras $O$ en el primer hueco, porque total ya nos aseguramos que los otros dos no queden vacíos).
Ahora hacemos casitos.
  • Si ponemos $5$ letras $O$ en el primer hueco.
    Entonces no nos quedan más letras $O$ para repartir.
    En este caso tenemos $1$ forma de hacerlo.
  • Si ponemos $4$ letras $O$ en el primer hueco.
    Entonces podemos poner $1$ letra $O$ en el segundo hueco y ninguna en el tercer hueco o ninguna letra $O$ en el segundo hueco y $1$ en el tercer hueco.
    En este caso tenemos $2$ formas de hacerlo.
  • Si ponemos $3$ letras $O$ en el primer hueco.
    Entonces podemos poner $2$ letras $O$ en el segundo hueco y ninguna en el tercer hueco, $1$ letra $O$ en el segundo hueco y $1$ en el tercer hueco o ninguna letra $O$ en el segundo hueco y $2$ en el tercer hueco.
    En este caso tenemos $3$ formas de hacerlo.
  • Si ponemos $2$ letras $O$ en el primer hueco.
    Entonces podemos poner $3$ letras $O$ en el segundo hueco y ninguna en el tercer hueco, $2$ letras $O$ en el segundo hueco y $1$ en el tercer hueco, $1$ letra $O$ en el segundo hueco y $2$ en el tercer hueco o ninguna letra $O$ en el segundo hueco y $3$ en el tercer hueco.
    En este caso tenemos $4$ formas de hacerlo.
  • Si ponemos $1$ letra $O$ en el primer hueco.
    Entonces podemos poner $4$ letras $O$ en el segundo hueco y ninguna en el tercer hueco, $3$ letras $O$ en el segundo hueco y $1$ en el tercer hueco, $2$ letras $O$ en el segundo hueco y $2$ en el tercer hueco, $1$ letra $O$ en el segundo hueco y $3$ en el tercer hueco o ninguna letra $O$ en el segundo hueco y $4$ en el tercer hueco.
    En este caso tenemos $5$ formas de hacerlo.
  • Si no ponemos ninguna letra $O$ en el primer hueco.
    Entonces podemos poner $5$ letras $O$ en el segundo hueco y ninguna en el tercer hueco, $4$ letras $O$ en el segundo hueco y $1$ en el tercer hueco, $3$ letras $O$ en el segundo hueco y $2$ en el tercer hueco, $2$ letras $O$ en el segundo hueco y $3$ en el tercer hueco, $1$ letra $O$ en el segundo hueco y $4$ en el tercer hueco o ninguna letra $O$ en el segundo hueco y $5$ en el tercer hueco.
    En este caso tenemos $6$ formas de hacerlo.
En total tenemos $1+2+3+4+5+6=21$ formas de hacerlo.

Una forma de hacer menos casos y un poco más corto el razonamiento (aunque no sé qué tan fácil sea darse cuenta de esto para alguien de Ñandú) es notar que si ponemos $n$ letras $O$ en el primer hueco, entonces lo único que tenemos que ver es cuántas letras $O$ poner en el segundo hueco, porque eso ya nos determina la cantidad que vamos a poner en el tercero. Como nos quedan $5-n$ letras $O$, entonces tenemos $6-n$ posibles opciones para ponerlas en el segundo hueco (cada uno de los $5-n$ números desde $1$ hasta $5-n$ y el $0$). Entonces para $5$ vamos a tener $1$ opción, para $4$ vamos a tener $2$ opciones, y siguiendo así vamos a llegar al mismo resultado que antes, $1+2+3+4+5+6=21$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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