Regional Ñandú 2012 N2 P2

[Martín Vacas Vignolo]

$ADEF$ es un rectángulo, $B$ es punto medio de $AD$ y $BD=DE$.
Área del triángulo $CDE=\frac{1}{3}$área del triángulo $BCE$.
Área del triángulo $BCE=294\text{ cm}^2$.
¿Cuál es el perímetro del rectángulo $ADEF$?
¿Cuál es el área de $ACEF$?

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[JPablo]

Primero calculemos el área de [math]CDE. El enunciado nos dice que esa área es un tercio del área de [math]BCE, y también nos da el área de [math]BCE. Entonces podemos calcular el área de [math]CDE multiplicando el área de [math]BCE por [math]\frac{1}{3}.

[math]\left ( CDE \right )=\frac{1}{3}\left ( BCE \right )=\frac{1}{3}\cdot 294\text{cm}^{2}=98\text{cm}^{2}

Ahora podemos calcular el área de [math]BDE, porque tenemos el área de [math]CDE y de [math]BCE. La suma de esas áreas nos dará el área de [math]BDE. Entonces [math]\left ( BDE \right )=\left ( BCE \right )+\left ( CDE \right )=294\text{cm}^{2}+98\text{cm}^{2}=392\text{cm}^{2}.

El enunciado también nos dice que [math]BD=DE. Además, el ángulo [math]\angle BDE es recto, porque recordemos que los lados de un rectángulo son perpendiculares. Entonces [math]BDE es un triángulo rectángulo isósceles. Su base es [math]BD y su altura es [math]DE. Supongamos que [math]BD=DE=x, es decir, le ponemos [math]x a su valor y podemos armar una ecuación: sabemos que el área de [math]BDE es igual a [math]392\text{cm}^{2}. Por lo tanto, recordando que el área de un triángulo es [math]\text{base} por [math]\text{altura} sobre [math]2, tenemos que

[math]\frac{BD\cdot BE}{2}=\left ( BDE \right )

[math]\frac{x\cdot x}{2}=392\text{cm}^{2}

Si resolvemos la ecuación nos da que [math]x=28\text{cm}, o sea que [math]BD=DE=28\text{cm}. Además, como [math]ADEF es un rectángulo, entonces sus lados paralelos son iguales. Es decir que [math]AF=DE y que [math]EF=AD.

Como [math]B es el punto medio de [math]AD, entonces [math]BD y [math]AB son la mitad de [math]AD. Como [math]BD=28\text{cm}, entonces [math]AD=2\cdot 28\text{cm}=56\text{cm}.

Ahora tenemos los cuatro lados del rectángulo, por lo que podemos calcular su perímetro: Sabemos que [math]AF=DE=28\text{cm} y que [math]EF=AD=56\text{cm}. Entonces el perímetro de [math]ADEF es

[math]28\text{cm}+28\text{cm}+56\text{cm}+56\text{cm}=168\text{cm}

Para calcular el área de [math]ACEF podemos calcular el área de [math]ADEF y restarle el área de [math]CDE, ya que es fácil ver que [math]\left ( ACEF \right )=\left ( ADEF \right )-\left ( CDE \right ).

Los lados del rectángulo [math]ACEF ya sabemos que miden [math]28\text{cm} y [math]56\text{cm}. Entonces el área es [math]28\text{cm}\cdot 56\text{cm}=1568\text{cm}^{2}. El área de [math]CDE ya la calculamos y nos dio [math]98\text{cm}^{2}. Entonces

[math]\left ( ACEF \right )=1568\text{cm}^{2}-98\text{cm}^{2}=1470\text{cm}^{2}.

[Pirógeno]

ADEF es un rectángulo, B es el punto medio de AD, BD = DE.

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Área del triángulo CDE = $\frac{1}{3}$ área del triángulo BCE.
Área del triángulo BCE = 294 $cm^2$.
¿Cuál es el perímetro del rectángulo ADEF?
¿Cuál es el área de ACEF?