Ñandú - Nacional - 2014 - Nivel 2 - Problema 1

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Pirógeno

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Ñandú - Nacional - 2014 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Pirógeno » Vie 27 Sep, 2019 12:18 pm

En el tablero están escritos el $3$ y el $11$:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\quad & 3 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & 11 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$Completa el tablero de modo que al sumar los números de cuatro casilleros consecutivos el resultado sea siempre $49$ y, además, la suma de los trece números del tablero sea igual a $166$.

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Luli97

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Re: Ñandú - Nacional - 2014 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Luli97 » Mié 08 Abr, 2020 4:03 pm

Spoiler: mostrar
Llamemos $A$, $B$, $C$ y $D$ a los números colocados en la primera casilla, la tercera, la cuarta y la quinta respectivamente.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & 3 & B & C & D & \quad & \quad & 11 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
Observemos que para que cada cuatro números consecutivos sumen $49$, debe pasar que $A+3+B+C=49$ pero también, $3+B+C+D=49$. Como la única diferencia entre una suma y la otra es $A$ por $D$, estos números deben ser iguales para que la suma siga siendo $49$. Esto nos dice que el número que coloquemos en la primera casilla debe ser el igual que el que coloquemos en la quinta. Si prestamos atención, esto pasa siempre que nos corramos un lugar, es decir, que cada cuatro casillas los números se repiten!
Ahora que sabemos esto, podemos completar varias casillas del tablero con números $3$ y $11$:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 3 & \quad & 11 & \quad & 3 & \quad & 11 & \quad & 3 & \quad & 11 & \quad \\
\hline
\end{array}$$
Si dividimos la tablero en bloques de a $4$, nos quedan $3$ bloques completos y la última casilla suelta, como cada bloque debe sumar $49$, los tres bloques juntos sumarían $3\cdot 49=147$ y por lo tanto, la última casilla debería valer $166-147=19$. Colocamos el $19$ en el último lugar y lo repetimos cada cuatro lugares, el tablero nos queda de la siguiente manera:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
19 & 3 & \quad & 11 & 19 & 3 & \quad & 11 & 19 & 3 & \quad & 11 & 19 \\
\hline
\end{array}$$
Por último, para que cada cuatro consecutivos sumen $49$ el número que falta colocar debería ser $49-(19+3+11)=16$, lo colocamos en los lugares restantes y el tablero queda completo de la siguiente manera:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
19 & 3 & 16 & 11 & 19 & 3 & 16 & 11 & 19 & 3 & 16 & 11 & 19 \\
\hline
\end{array}$$

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LorenzoRD

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Re: Ñandú - Nacional - 2014 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por LorenzoRD » Mié 08 Abr, 2020 7:47 pm

Editado porque me olvide de poner spoiler
Spoiler: mostrar
$a + 3 + c + d + e + f + g + 11 + i + j + k + l + m = 166$

$a + 3 + c + d = 49$
$3 + c + d + e = 49$
Entonces $a = e$ y aplicando el mismo argumento se repite el ciclo cada $4$ fichas.

Entonces:
$a = e = i = m$
$3 = f = j$
$c = g = k$
$d = 11 = l$

$a + 3 + c + 11 + a + 3 + c + 11 + a + 3 + c + 11 + a = 166$
$4a + 3c = 124$

Y como $a + 3 + c + 11 = 49$, entonces $a + c = 35$

Resolvemos el sistema de ecuaciones, que nos da $a = 19$ y $c = 16$

Tablero final: $19 - 3 - 16 - 11 - 19 - 3 - 16 - 11 - 19 - 3 - 16 - 11 - 19$

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