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En la figura:
$ABCD$ es un rectángulo,
$M$ es el punto medio de $AB$,
$BP=2CP$,
$AM=4DQ$,
$CP=2AR$,
$AR=DQ$.
Área de $MBP=128\text{ cm}^2$.
¿Cuál es el área de $PCQ$?
¿Cuál es el área de $ABPR$?
¿Cuál es el área de $MPQR$?
P2N2-Nacional2020.PNG
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Notemos que por las relaciones que nos dan entre los segmentos de la figura, podemos cuadricularla de la siguiente manera:
SolNac2020N2P2.PNG
Entonces el área de $MBP$ es en realidad la mitad del área del cuadrado de $MBPX$. Por lo tanto, este cuadrado tiene área $2 \cdot 128 cm^2=256 cm^2$, lo que implica que cada uno de los cuadraditos en los que está dividida la figura tiene área $256 cm^2 :16 =16cm^2$. Así podemos afirmar que el lado de cada uno de los cuadraditos mide $4 cm$.
A partir de esto se pueden calcular todos los segmentos importantes en la figura: $AB=8 \cdot 4 cm= 32cm$, $AM=BM=BP=4 \cdot 4 cm= 16 cm$, $PC= 2 \cdot 4 cm= 8 cm$, $CQ=7 \cdot 4 cm=28 cm$, $DQ=AR=4cm$ y $DR=5 \cdot 4 cm=20 cm$.
Calculemos entonces las áreas que nos pide el problema.
Área de $PCQ=\dfrac{PC\cdot CQ}{2}=\dfrac{8cm\cdot 28cm}{2}=\dfrac{224cm^2}{2}=112cm^2$.
El área de $ABPR$ la podemos calcular dividiendo esta figura en dos partes: el rectángulo $ABKR$ y el triángulo $PRK$.
Área de $ABKR= AB \cdot AR= 32 cm \cdot 4 cm=128cm^2$.
Área de $PRK=\dfrac{32cm \cdot 12 cm}{2}$ pues la base mide lo mismo que $AB$ y la altura mide $3 \cdot 4cm$. Luego, área de $PRK=192cm^2$.
Entonces, el área de $ABPR$ es $128cm^2+192cm^2=320cm^2$.
Por último, para calcular el área de $MPQR$ lo que haremos es calcular el área del rectángulo $ABCD$ y restarle las áreas de los $4$ triángulos que sobran.
Área de $ABCD= AB \cdot BC = 32cm \cdot 24cm= 768 cm^2$.
Área de $MBP=128 cm^2$, esta es la que nos daba el enunciado, no en necesario volver a calcularla.
Área de $PCQ=112 cm^2$, la calculamos más arriba.
Área de $QDR=\dfrac{DQ \cdot DR}{2}=\dfrac{4cm \cdot 20cm}{2}=40cm^2$.
Área de $RAM=\dfrac{AR\cdot AM}{2}=\dfrac{4cm\cdot 16cm}{2}=32cm^2$.
Así podemos calcular el área de $MPQR$ como $768 cm^2- (128cm^2 +112cm^2+40cm^2+32cm^2)=768cm^2-312cm^2=456cm^2$.
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