Nacional Ñandú 2020 - Nivel 2 - Problema 3

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Luli97

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Nacional Ñandú 2020 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por Luli97 »

Juana escribió la lista de todos los números enteros positivos $A$, menores que $10000$ que cumplen estas tres condiciones:
  • El doble de $A$ tiene la misma cantidad de dígitos que $A$.
  • El triple de $A$ tiene más dígitos que $A$.
  • La suma de los dígitos de $A$ es $10$, $20$ o $30$.
¿Cuántos números distintos tiene la lista de Juana?

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Luli97

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Re: Nacional Ñandú 2020 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por Luli97 »

Spoiler: mostrar
Que "el doble de $A$ tenga la misma cantidad de dígitos que $A$" significa que el primer dígito del número $A$ tiene que ser menor que $5$, para que al multiplicarlo por $2$ no nos genere un nuevo dígito.

Que "el triple de $A$ tiene más dígitos que $A$" significa que el $A$ debe ser mayor que $33...3$, para que al multiplicarlo por $3$, tenga $1$ dígito más que antes.

Ahora para que se cumpla la tercera condición, separemos en casos según la cantidad dígitos de $A$.

$2$ dígitos
$37$ y $46$, ambos suman $10$ y no hay más que estos dos.

$3$ dígitos
$334$, $343$, $352$, $361$, $370$, $389$, $398$, $406$, $415$, $424$, $433$, $442$, $451$, $460$, $479$, $488$ y $497$.
Notemos que en este caso, los primeros dos dígitos del número son algún número entre $33$ y $49$, y el último dígito es el necesario para que la suma sea $10$, $20$ o $30$. En este caso hay $49-32=17$ posibilidades.

$4$ dígitos
$3340$, $3359$, $3368$, $3377$, $3386$, $3395$, $3403$, $3412$ y así siguiendo.
Con la misma idea que en el caso anterior, los primeros $3$ dígitos pueden ser cualquiera entre $334$ y $499$, y el último dígito será el único que haga que la suma sea $10$, $20$ o $30$. Por lo tanto, en este caso habrá $499-333=166$ posibilidades.

En total hay $2+17+166=185$ posibilidades.

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