Provincial Ñandu 2013 N3 P3

[Ivan]

Se tiene un bloque de madera de [math]7\mathrm{cm} \times 7\mathrm{cm} \times 10\mathrm{cm}.
Se pintan sus [math]6 caras de rojo y se parte en [math]490 cubitos iguales de [math]1\mathrm{cm} de arista.
¿Cuántos de los cubitos en que quedó partido el bloque tienen

• [math]1 cara pintada de rojo?
• [math]2 caras pintadas de rojo?
• [math]3 caras pintadas de rojo?
• ninguna cara pintada de rojo?

[Martín Vacas Vignolo]

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Miremos las caras del frente y de atrás (ubicando el cubo convenientemente):

p3n3metroñ1.png

Los segmentos rojos representan que esa cara del cubito tiene su cara vecina (en el cubito) también pintada.
-Hay [math]4 cubitos con tres caras pintadas
-Hay [math]20 cubitos con dos caras pintadas
-Hay [math]49-4-20=25 cubitos con una cara pintada
-No hay ningún cubito con cero caras pintadas

Como hay dos de estas caras, y no se tocan, hasta ahora tendríamos el doble de lo que ya calculamos.

Entre estas dos caras quedó otro ladrillo de [math]7\times 7 \times 8 que aún no contamos y podemos dividir en ocho rodajas de [math]7\times 7 \times 1. En cada rodaja hay:

-Ningún cubito con tres caras pintadas
-[math]4 cubitos con dos caras pintadas
-[math]20 cubitos con una cara pintada
-[math]49-4-20=25 cubitos con cero caras pintadas
(notar que "baja una cara pintada" con respecto a las caras anteriores)

Finalmente en todo el ladrillo hay:
[math]4\times2+0\times8=8 cubitos de tres caras pintadas
[math]20\times2+4\times8=72 cubitos con dos caras pintadas
[math]25\times2+20\times8=210 cubitos con una cara pintada
[math]0\times2+25\times8=200 cubitos con cero caras pintadas