Regional Ñandú 2013 N3 P2

[Martín Vacas Vignolo]

En la figura:

$ABCD$ es un rectángulo.
$\angle DSR=90^{\circ}$
$AP=RC$, $AD=DS$ y $DP=PB$.
Perímetro de $PBRD=100\text{ cm}$.
Área de $PBR=300\text{ cm}^2$.
¿Cuál es el perímetro de $APRSD$?
¿Cuál es el área de $APRSD$?
¿Cuál es el área de $RCS$?

p2n3regñ2013.png

[Martín Vacas Vignolo]

Como nos dicen que [math]AP=RC y [math]AD=CB porque es un rectángulo, entonces los triángulos [math]APD y [math]CRB son iguales, o sea que [math]RB=DP. Eso quiere decir que [math]PBRD es un paralelogramo, y como nos dicen que [math]DP=PB, es un rombo, o sea tiene todos los lados iguales. Además, como [math]DS=AD y [math]DP=DR, el triángulo [math]DSR también es igual a los otros dos triángulos.

Al ser el perímetro [math]100cm, cada lado debe medir [math]25cm.
Si marcamos el punto [math]H como en esta figura:

p2n3regñ2013B.png

tenemos que [math]HB mide [math]7cm porque es igual que [math]RC y [math]PH mide [math]25-7=18cm.

Además el área de [math]PBR es [math]\frac{PB\times RH}{2}, que sabemos que da [math]300, entonces [math]\frac{25\times RH}{2}=300 y obtenemos que [math]RH=24cm. Como [math]RH es paralelo a los lados de rectángulo, [math]AD y [math]CBtambién miden [math]24cm.

En el triángulo [math]RCB hacemos pitágoras y tenemos [math]RB^2=RC^2+CB^2 \to 25^2=RC^2+24^2 \to 49=RC^2 \to 7=RC. Y como [math]AP y [math]SR son iguales, también miden [math]7cm.
En el triángulo [math]PHR hacemos pitágoras y tenemos [math]PR^2=PH^2+RH^2 \to PR^2=18^2+24^2=900 \to PR=30cm.

a)Para el perímetro de [math]APRSD tenemos que es [math]AP+PR+RS+SD+DA=7+30+7+24+24=92cm.
b)Para el área de [math]APRSD tenemos que es igual a la suma de las áreas de:
[math]APD=(24\times7:2=84.
[math]DPR=300.
[math]DSR=APD=84.
Entonces el área de [math]APRSD=300+84+84=468.

c) Para el área de [math]SRC observemos esto: el área de [math]DSR sabemos que da [math]84 y la podemos calcular como [math]25por la altura correspondiente al lado [math]DR(que sería la altura que necesitamos para nuestro triangulito [math]SRC!) dividido dos. O sea: [math]\frac{25\times h}{2}=84 \to h=6,72cm. Luego el área del triángulo [math]SRC es [math](6,72\times7:2=23,52.

Comentario: la idea que usé en el ítem c) es una idea bastante complicada para ñandú... Si a alguien se le ocurre otra forma de calcular el área, postéelo...

[Pirógeno]

En la figura:

n3 reg 2013 p2.jpg

ABCD es un rectángulo.
DŜR = 90°.
AP = RC, AD = DS y DP = PB.
Perímetro de PBRD = 100 cm.
Área de PBR = 300 $cm^2$.
¿Cuál es el perímetro de APRSD?
¿Cuál es el área de APRSD?
¿Cuál es el área de RCS?