Nacional Ñandú 2013 - P3 N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Reglas del Foro
  • Las soluciones posteadas en este foro tienen que usar conocimientos aptos para un participante de Ñandú. Cualquier solución que use conocimientos demasiado avanzados será borrada.
  • Las soluciones deberán estar explicadas lo más didácticamente posible (esto es más que nada una recomendación para los más grandes).
  • Al subir un problema hay que indicar certamen, año, nivel al que pertenece y número de problema.
Avatar de Usuario
Martín Vacas Vignolo
Mensajes: 400
Registrado: Mié 15 Dic, 2010 6:57 pm
Nivel: Exolímpico

Nacional Ñandú 2013 - P3 N3

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Sab 02 Nov, 2013 8:46 pm

El microcine tiene [math] filas de [math] asientos cada una.
Cuando Laura entra, quedan [math] asientos vacíos. Los asientos vacíos no están ni uno al lado del otro ni uno detrás del otro.
¿De cuántas maneras distintas pueden estar ubicados los [math] asientos vacíos que encuentra Laura? Explica cómo las contaste.
[math]

123
Mensajes: 17
Registrado: Mar 26 Feb, 2013 3:14 pm

Re: Nacional Ñandú 2013 - P3 N3

Mensaje sin leer por 123 » Dom 03 Nov, 2013 2:22 pm

Una idea:
Spoiler: mostrar
Se puede ver que más de 3 asientos libres por fila no puede haber. De esto resulta tres casos que se pueden tener en cuenta para resolver el problema:
1° En una fila hay 3 asientos libres, en otra 2 y en la que queda ninguna (3-2-0)
2°(3-1-1)
3°(2-2-1)
Resultado
Spoiler: mostrar
Para el primer caso me da 16, para el segundo 20 y para el tercero 154. Quiere decir que habrá 16+20+154=190 maneras distintas de estar ubicados los 5 asientos vacíos que encuentre Laura
1  

ccllanos
Mensajes: 5
Registrado: Sab 14 Sep, 2013 8:27 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Nacional Ñandú 2013 - P3 N3

Mensaje sin leer por ccllanos » Sab 09 Nov, 2013 4:12 am

No estoy de acuerdo 123. Los casos que propones me parecen demasiado amplios y creo que se hace difícil revisarlos uno por uno. Por mi parte propongo esta solución, aunque aclaro que no he verificado la certeza de tu resultado ni del mío con un grado pleno de certeza.
Spoiler: mostrar
Imaginemos que en las filas los asientos están alternados por colores. Algo así como un tablero de ajedrez de 3 x 5. Tendremos entonces asientos "blancos" y asientos "negros". Entonces si un asiento de la esquina del tablero es de color blanco tendremos que:

8 asientos son blancos(B)
7 asientos son negros(N)

Sabemos que la suma total de los asientos vacíos no puede ser mayor ni menor que 5. Guiándonos con esta igualdad podemos plantear estos casos y verificarlos uno por uno:

5 B
4B + 1 N
3B + 2 N
2B + 3 N
1B + 4N
5 N

El primer caso (5B) indica que todos los asientos vacíos son blancos. Sólo hay 8 asientos blancos en total. Por tanto m = 8 y n = 5. Es una combinación sin repetición. 8! / [5!(8-5)!] = 56 combinaciones en este caso.

Para el caso 5N ocurre algo similar, sólo que en esta ocasión el valor de m = 7. 7! / [5!(8-5)!] = 21 combinaciones posibles.

Resta analizar los siguientes casos. En el caso 1B 4N vemos que el asiento blanco que elijamos puede "ocupar" 2 o 3 asientos negros, pero no 4 ya que 7 - 4 = 3 < 4. Los asientos blancos que ocupan dos asientos negros son los de las esquinas. Y para cada esquina tenemos 5! / [4!(5-4)!] = 5. Como son 4 esquinas es 5 * 4 = 20 combinaciones. Con los que ocupan 3 asientos negros, vemos que son los del medio de la primera y tercera fila. Pero si elegimos uno de ellos para que sea nuestro asiento B sólo habrá una combinación posible para los restantes asientos N. Por lo que tenemos 20 + 2 = 22 combinaciones posibles en este caso.

En el caso 1N 4B vemos que tenemos 2 opciones. Si elegimos cualquiera de los asientos N que estan en el perímetro de nuestro auditorio, "ocupará" 3 asientos B. Así que siempre nos quedan 5 asientos B disponibles. Por lo que tenemos 5! / [4!(5-4)!] = 5. Son 6 asientos en el perímetro así que 5 * 6 = 30. Como segunda opción, si elegimos el asiento N que está en el centro, los 4 asientos B sólo podrán ser distribuidos en las 4 esquinas. Así que tenemos 30 + 1 = 31 combinaciones posibles en este caso.

Vamos ahora a los casos "complicados". En primer lugar 2B y 3N. Comenzamos pensando cual es el mínimo y el máximo número de asientos N que 2B nos puede ocupar. Establecemos que min=3 y max=7. Tambien contamos los casos intermedios. Al lado de nuestros asientos blancos indicamos entre paréntesis los asientos negros que vamos a ocupar para ordenarnos mejor

2B(3) 3N
2B(4) 3N
2B(5) 3N
2B(6) 3N
2B(7) 3N

Vemos que los 3 últimos sub-casos que consideramos no tienen significado para nosotros, porque todos nos dejan con menos de 3 asientos negros disponibles. Y como nuestro caso nos exige llenar 3 asientos negros, son combinaciones imposibles. Así que nos concentramos sólo en los dos primeros.

2B(3) 3N. El único modo de que 2 asientos blancos "ocupen" 3 asientos negros es que elijamos 2B de las esquinas y que ambos se encuentren en la misma columna. Tenemos dos columnas. Y para cada columna las combinaciones posibles son 4! / [3!(4-3)!]= 4. Como son dos columnas 4*2 = 8 combinaciones posibles para este subcaso.

2B(4) 3N. Para este subcaso al menos 1 de los B tiene que estar en las esquinas. Tenemos 4 esquinas. En la primera esquina contamos 3 casos. En la segunda 2. En la tercera 2. Y en la cuarta 1. Esto nos deja con 3+2+2+1=10

Eso significa en total 18 combinaciones para el caso 2N 3B

Finalmente el caso 3B 2N. Al igual que en el anterior caso, lo distribuimos en sub-casos:

2N(4) 3B
2N(5) 3B
2N(6) 3B

El último sub-caso no nos interesa. Nos concentramos en los dos primeros. Imaginamos un hexágono formado por los asientos N perimetrales. En este hexágono, su cuatro lados diagonales que no corresponden a ninguna fila son los casos 2N que podemos tomar para satisfacer 2N(4) 3B. El valor de las combinaciones posibles en cada uno de estos lados es 4! [3!(4-3)!] = 4. Como son 4 lados 4*4 = 16. 16 combinaciones posibles para este subcaso.

Finalmente en el caso 2N(5) 3B tenemos 2 opciones. Podemos formarlo tomando el N central, o sin hacerlo. No podremos tomar ninguno de los 2N de las columnas perimetrales. Visto así nos queda un cuadrado de asientos en el centro. Cada lado de este cuadrado es una combinación posible para nuestro sub-caso. Como son 4 lados, 1*4=4. Si decidimos tomar el N central añadiremos 4 combinaciones nuevas. Con lo que tendremos un total de 24 combinaciones para este caso.
En resumen
Spoiler: mostrar
5 B = 56
4B + 1 N = 31
3B + 2 N = 18
2B + 3 N = 24
1B + 4N = 22
5 N = 21

Total de combinaciones posibles = 172

Pirógeno

OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 280
Registrado: Vie 11 Ene, 2019 10:31 am
Medallas: 1
Nivel: Otro

Ñandú - Nacional - 2013 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Pirógeno » Vie 27 Sep, 2019 3:38 pm

El microcine tiene 3 filas de 5 asientos cada una.
n3 nac 2013 p3.jpg
Cuando Laura entra, quedan 5 asientos vacíos.
Los asientos vacíos no están ni uno al lado del otro ni uno detrás del otro.
¿De cuántas maneras distintas pueden estar ubicados los 5 asientos vacíos que encuentra Laura?
Explica cómo las contaste.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.

Responder