Ñandú - Nacional - 2017 - Nivel 3 - Problema 5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Reglas del Foro
  • Las soluciones posteadas en este foro tienen que usar conocimientos aptos para un participante de Ñandú. Cualquier solución que use conocimientos demasiado avanzados será borrada.
  • Las soluciones deberán estar explicadas lo más didácticamente posible (esto es más que nada una recomendación para los más grandes).
  • Al subir un problema hay que indicar certamen, año, nivel al que pertenece y número de problema.
Pirógeno

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020
Mensajes: 272
Registrado: Vie 11 Ene, 2019 10:31 am
Medallas: 3
Nivel: Otro

Ñandú - Nacional - 2017 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Pirógeno » Vie 27 Sep, 2019 4:08 pm

En la figura:
n3 nac 2017 p5.jpg
$ABC$ es isósceles con $AB=BC$,
$\angle ABC=2\angle ADC$
$\angle ACD=48°$
$\angle BAD=76°$
¿Cuánto miden $\angle ABC$ y $\angle BCD$?
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.

Avatar de Usuario
Luli97

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Jurado-FOFO Pascua 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años
OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González
Mensajes: 90
Registrado: Mar 16 Abr, 2013 8:23 pm
Medallas: 13
Nivel: Exolímpico

Re: Ñandú - Nacional - 2017 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Luli97 » Sab 28 Mar, 2020 5:10 pm

Spoiler: mostrar
Si llamamos $\alpha$ al ángulo $A\hat{D}C$, tenemos que $A\hat{B}C= 2 \cdot \alpha$, usando que $A\hat{D}C=2 \cdot A \hat{B}C$.
Ahora, sabiendo que el triángulo $ABC$ es isósceles, podemos calcular que los ángulos iguales $B\hat{A}C$ y $A\hat{C}B$ miden $\dfrac{180°-2\cdot \alpha}{2}$, es decir, $90°-\alpha$ cada uno.
Con todos estos datos, vamos a calcular la suma de ángulos interiores, y como $ABCD$ es un cuadrilátero debe dar $360°$
$A\hat{B}C+B\hat{C}D+C\hat{D}A+D\hat{A}B= 2 \cdot \alpha + 90°- \alpha +48°+\alpha+76°= 214°+2 \cdot \alpha$
Luego, $214°+2 \cdot \alpha=360°$ y así calculamos el valor de $\alpha$ que es $73°$.

La respuesta es entonces $A\hat{B}C=2\cdot \alpha=146°$ y $B\hat{C}D=48°+90°-\alpha=65°$.

Responder