Ñandú - Nacional - 2017 - Nivel 3 - Problema 6

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Pirógeno

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Ñandú - Nacional - 2017 - Nivel 3 - Problema 6

Mensaje sin leer por Pirógeno » Vie 27 Sep, 2019 4:10 pm

En un tablero de $4\times 4$ Pablo y Matías juegan al siguiente juego.$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
Pablo coloca $7$ fichas en el tablero, cada una en una casilla distinta.
Matías elige $2$ filas y $2$ columnas del tablero y las elimina.
Si después de esta eliminación queda alguna ficha en el tablero, gana Pablo; si no, gana Matías.


a) ¿Tiene Pablo alguna manera de ubicar las $7$ fichas de modo de asegurarse la victoria?
Si la respuesta es sí, muestra cómo debe Pablo ubicar las fichas.
Si la respuesta es no, explica por qué no puede hacerlo.

b) Si juegan el mismo juego con $6$ fichas, ¿tiene Pablo alguna manera de ubicar las $6$ fichas de modo de asegurarse la victoria?
Si la respuesta es sí, muestra cómo debe Pablo ubicar las fichas.
Si la respuesta es no, explica por qué no puede hacerlo.

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Tomás Morcos Porras

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Re: Ñandú - Nacional - 2017 - Nivel 3 - Problema 6

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Mar 11 Feb, 2020 2:28 am

Spoiler: mostrar
Primero veamos que a) se puede con la siguiente configuración:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\blacksquare & \blacksquare & & \\ \hline
& \blacksquare & & \blacksquare \\ \hline
& & \blacksquare & \\ \hline
\blacksquare && & \blacksquare \\ \hline
\end{array}$
Donde $\square$ representa una casilla normal y $\blacksquare$ una ficha sobre una casilla.

Para b) vamos a ver que a Matías se le puede hacer fácil ganar si:
  • Hay cuatro casillas en una fila o columna:
    Puede sacar cuatro de una sola movida, dejando una ficha para cada jugada y hasta le sobran fichas.
  • Hay tres casillas en una fila o columna:
    Puede sacar las tres en un solo movimiento, dejando las otras tres para sacar de a una movida cada una.
  • Hay dos casillas en una fila o columna y dos en otra:
    Puede sacar dos en una jugada y otras dos en otra, dejando solo dos para sacar en sus dos movimientos restantes.
Vemos que en todos estos escenarios gana Matías. Ahora vamos a demostrar que todas las formas de acomodar las fichas para Pablo entran en alguna de estas categorías.
Veamos que el tablero tiene $16$ casillas en $4$ filas y $4$ columnas. Si coloco una ficha, me ocupa una casilla en una fila y una columna. Lo ideal para Pablo entonces sería no tener ningún par de fichas en ninguna fila o columna. Veamos qué pasa cuando ponemos una ficha:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
& X & & \\ \hline
& X & & \\ \hline
X & \blacksquare & X & X \\ \hline
& X & & \\ \hline
\end{array}$
Nos deja bloqueadas otras $6$ casillas. Pongamos otra para ver:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
& X & X & \\ \hline
X & X & \blacksquare & X \\ \hline
X & \blacksquare & X & X \\ \hline
& X & X & \\ \hline
\end{array}$
Bloquea $4$ más. Así, colocando $2$ fichas, bloqueamos $12$ de las $16$.
Intentemos poner una más:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\blacksquare & X & X & X \\ \hline
X & X & \blacksquare & X \\ \hline
X & \blacksquare & X & X \\ \hline
X & X & X & \\ \hline
\end{array}$
Vemos así que queda un solo lugar para poner una ficha, pongámosla para ver qué pasa:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\blacksquare & X & X & X \\ \hline
X & X & \blacksquare & X \\ \hline
X & \blacksquare & X & X \\ \hline
X & X & X & \blacksquare \\ \hline
\end{array}$
Finalmente, vemos que todas las casillas tienen una ficha encima o están bloqueadas. Necesariamente, las dos fichas que quedan van a quedar en la misma fila que otras $2$, haciendo que haya dos pares de $2$ fichas en la misma fila o columna. Matías tiene todas las de ganar.
Thanks for coming to my TED Talk.

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